初中几种常见的数学思想(6篇)
初中几种常见的数学思想篇1
在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为最值问题。在初中阶段，如何运用数学思想和方法来解决数学最值问题是值得探讨的问题，本文结合初中数学常见的最值问题进行分析，寻求解决最值问题的一些方法。
一、利用函数自变量取值范围的限制求最值问题
由于函数自变量取值范围的限制，函数图像局限于某一线段或某一部分。这样，函数的值往往也确定在某个范围内，从而存在最值，利用函数自变量取值范围的限制求最值问题是初中数学中常见的方法之一。
二、利用配方法求最值问题
配方法，主要是利用完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2的结构特征。把待解决问题中的代数式，通过一定变形手段，构造出完全平方式：a2±2ab+b2，然后使式子表示成（a+b）2+k或几个平方的和的形式，利用平方的非负性从而得到最值。
例1.设x，y为实数，代数式5x2+4y2-8xy+2x+4的最小值为.
另外，我们经常利用二次函数的顶点性质求最值问题。如：求面积最大值，求利润最大等。
三、利用根的判别式求最值问题
通常根的判别式可以判别一元二次方程根的状况，可以用来研究二次函数图像和x轴交点个数。在这里，我们还可以利用根的判别式求函数的最值。
例2.设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根，当m为何值时，x12+x22有最小值，并求这个最小值。
分析：先由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，思考是否存在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，下面从判别式入手。
当问题分析得到二次函数的顶点式时，我们还要考虑到函数的顶点是否存在，如果顶点不可取得，那么问题变成为在a≤x≤b范围内求最值。往往这些问题在考察分析综合能力的同时，还考察思考问题的严密性。
四、利用几何的方法求最值问题
数学是研究数量关系与空间形式的科学，“数形结合”是初中数学中重要的思想，利用定理“在同一平面内，两点之间线段最短”几何方法求最值问题是常见的好方法。
例3.如图，在某个牧场A附近有个草场B，它们的旁边有一条小河l。在这片土地上放养着一群牛。饲养员每天早上把牛从牧场赶到草场吃草，每天傍晚又把牛从草场赶回牧场休息。傍晚把牛赶回来时，饲养员每次都会让牛先去小河边喝水。设计一条把牛赶回来时的路线画在图上，要求路线最短。
分析：本题的难点不在于解题过程，而在于解题的思想方法。
解：首先，作点B关于L的对称点B'，（如图所示），OB'=OB，∠BOP=∠B'，OP=OP，OPB≌OPB'，PB=PB'.
因此，求AP+BP就相当于求AP+PB'。这样，复杂的问题便通过转化变得简单，因此连接AB'得到最短路线，在L上确定点P，牛赶回来时的路线APPB最短。
数形结合是中学数学中重要思想方法之一，是数学的本质特征。它包含“以形助数”和“以数助形”两个方面，正如华罗庚先生所指出：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞。数缺形时少直观，形少数时难入微。”
初中几种常见的数学思想篇2
关键词：数形结合；转化；分类；函数；方程；建模
对数学思想方法的考查是近几年中考命题中极为热点的问题，数学思想伴随着数学知识体系的建立而确定，它是数学知识体系的灵魂，是数学知识的精髓，是把知识转化成能力的桥梁，是解决数学问题的有力武器。
初中阶段常用的数学思想方法有：数形结合思想、转化思想、分类讨论思想、函数与方程思想、建模的思想等等。下面就在中考试题中比较常见的几种数学思想发表一下自己的粗浅看法，供同行参考。
一、数形结合思想
数形结合思想是说数的问题可用图形分析解决，形的问题可
用对数的研究去思考，使数式与图形结合起来，达到既分析了数量
关系又揭示其几何意义，使代数与几何结合起来，这种思想的应用可使题目更加直观、形象，便于学生理解。
二、转化思想
转化思想是说在解决问题时常常需要进行等价转化，把生疏
的题目转化为熟悉的题目，通过已知与未知的转化、特殊与一般的转化、动与静的转化、条件与结论的转化等，使要解决的问题化难为易，化繁为简，这种思想在数学解题的过程中是最常见的。
三、分类讨论思想
分类讨论思想是说当一个问题用统一的方法不能继续做下去时，需要将所研究的问题分成若干种情况分别进行研究的思想方法，它主要是根据研究对象性质的差异，分各种不同的情况予以考查，掌握分类讨论的方法及分类的原则，这对解题是很重要的。所谓分类的原则就是分类中的每一部分都是独立的；一次分类按一个标准；分类讨论要逐级进行，做到不重、不漏。
如：已知■=■=■=k。那么直线y=kx+k一定经过
（）
A.第一、二象限B.第二、三象限
C.第三、四象限D.第一、二、三象限
分析：此题可用等比的性质■=■=■=■，但要有条件就是b+d+f≠0，所以要分两种情况进行讨论。
即（1）当a+b+c≠0时，由等比性质得k=2，所以直线y=kx+k经过第一、二、三象限。
（2）当a+b+c=0时，a+b=-c，k=■=■=-1，所以直线y=kx+k经过第二、三、四象限。
综合（1）（2），直线y=kx+k经过第二、三象限，故选B。
四、函数与方程思想
函数与方程思想是指对于数学问题要学会用运动、变化的观点去观察、分析和处理问题；学会转化未知与已知的关系，能把一个数学问题通过适当的途径转化为方程（组），从而使问题得到解决的数学思想方法。
函数思想主要用于研究变量间的关系和变化状态的有关问题，运用函数思想解题，建立函数关系模型是关键。
方程思想在探索解题思路，尤其对解决与数量有关的数学问
题时更为常用。这样的例子很多很多，就不一一列举了。
这样的例子在教学中是十分常见的，常用的方法是把二次方
程和二次函数结合起来，体现函数和方程的思想，考查学生对二次函数这部分知识的掌握和运用。
五、数学建模思想
数学建模思想是说在具体的问题分析中，应尽可能通过抽象的知识确定出主要的参量、参数，运用与问题有关的定律、原理，建立起它们之间的某种关系，这样一个具体的问题就转化成了一个数学模型。
例如：随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是每吨0.5万元，这种水果市场上的销售量y（吨）是每吨的销售价x（万元）的一次函数，且x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2。
（1）求出销售量y（吨）与每吨售价x（万元）之间的函数关系式；
（2）若销售利润为w（万元），请写出w与x之间的函数关系式，并求出销售价为每吨2万元时的销售利润。
答案：（1）设y=kx＋b，因为已知x=0.6时，y=2.4；x=1时，y=2。列出方程组求出k=－1，b=3，所以函数关系式为y=－x＋3。
此例就是一次函数与二次函数的综合应用，它就是构建函数
模型解决实际问题的典型例子。
总之，中考试题中涉及初中阶段课程标准要求的各种思想方
初中几种常见的数学思想篇3
一、强调分类讨论，提高数学思辨意识
分类讨论是一种较为常见的数学思想方法.数学思想具有很强的逻辑严密性，要让初中学生在较短的时间内掌握一种数学思想方法是有一定的难度.因此，教师在初中数学教学时，要重点强调分类讨论的重要性，并善于引导学生用此思想方法解决数学难题，提高学生的学习积极性.与此同时，教师应当依据学生的学习状况针对性教学，估计学生用分类讨论的方法多做数学题，加强数学思想方法的应用性和自身的思维能力.以《统计的简单应用》的教学为例，教师在讲解时可联系生活实际，让学生在最为熟悉的情况下思考问题，这样可以引导学生逐步探讨数学现象.当学生产生疑问后，通过教师详细讲解，学生对平均数的本质概念有了一定的理解.数学的学习同样是层层递进的，在理解平均数概念的基础上，学生能够解决书本中平均数求值问题，能够意识到分类讨论可以用来分析生活中遇到的平均数现象，也能够依据具体状况用不同的分类方法解决实际问题.无论是在日常生活中，还是数学题目中，分类讨论的作用都十分明显.而在这个过程中，学生对分类讨论的思想会有重新的认识，在生活中也会自然形成勤于分类的好习惯.
二、养成分类意识，形成概念分类思想
在实际教学中发现学生并没有形成足够的分类意识，还不擅长用分类的方法解决数学问题.所以，教师应当充分考虑导致这些现象的因素，并根据教材，强化教学，即让学生避免乱用分类讨论的方法，引领学生在解决实际问题的过程中探讨分类思想的本质.数学课本中就有很多概念是通过分类给出的，很多概念都需要在特定的类型中才可以成立.如绝对值问题就被分为三种情况，即绝对值符号里的数为正、负还是零.又如遇到一元二次方程的数学问题，则需考虑其二次项系数是否为零.诸如此类，这些概念问题的解决需要依据其不同的分类形式一一讨论.对于大部分学生来说，数学中很多概念过于抽象，需要教师不断补充教学，同时可采用直观的教学方式，将数与形结合，加强学生的记忆和理解.例如：求一元二次方程mx2-（m-1）x-2（3m-1）=0.根据题目要求和一元二次方程的概念，首先就要排除m=0的情况.若将题目变为求方程mx2-（m-1）x-2（3m-1）=0.则需考虑m=0和m≠0两种.数学概念的不断强化教学，使学生对分类方法的应用性得到显著提高.
三、指导分类讨论，帮助认清问题本质
初中数学教学中常常会遇到需要分类讨论的题目，而这种类型的题目对于大部分的初中生来说有一定的难度.对分类讨论方法的不熟悉会让学生无法很好地完成相关数学题，这也在很大程度上降低了学生的学习热情.因此，教师要尽可能站在学生的角度，用他们的视角或思考方向去教学，探究很多可行的思考方法，通过多向式的思维方式帮助学生走出固定的思维套路，积极开发拓展性思维，同时对学生应当具备足够的耐心，认真指导学生探求数学问题的本质，提高分类讨论方法的运用能力.教师还应当提醒学生要时刻保持理性和严谨的态度，有条不紊的解决问题.例如：在教学“平面图形的认识”时，其中线段、射线、直线是最为常见和简单的平面图形，但学生的认知程度较浅，教师应根据其本质深入讲解.对于其他较为复杂或容易混淆的平面图形，教师可以引导学生根据它们的特征进行分类，组织学生自行安排合作小组，展开讨论，探究不同类型的平面图形的异同点.通过教师的指导和学生的热情参与，学生对平面图形的知识点有了较为全面的认识，看问题的角度也更加成熟、理性.
四、强化分类讨论，培养清晰解题思路
初中几种常见的数学思想篇4
一、“数形结合”的概念
所谓“数形结合”，既是一种思想，也是一种教学手段。它指的是将一些生硬的、难懂的数学理论和数学语言，通过图形的方式给学生直观地展现出来，以促进学生的理解和记忆。所以，数形结合又是一种非常直观的数学教学方法。
二、数形结合思想在初中数学教学中的应用价值
当前，我国大部分初中数学教师在教学工作中已经普遍应用了数形结合思想。首先，将数形结合思想融入初中数学教学过程中，可以将一些学生难以理解的数学知识转化为更加浅显易懂的图形，从而利于学生的理解。其次，数学相对来说是一门比较枯燥的学科，它既没有生动幽默的语言，也没有丰富多彩的故事，所以很多学生都难以对数学产生兴趣。而通过数形结合思想，将枯燥的数学语言转化为直观的图形，可以增强数学课堂的趣味性和活力，从而提高学生的兴趣，集中学生的注意力。再者，数学还是一门抽象的学科，通过数形结合思想，能够培养学生的空间集合思维，提高学生的问题分析能力，这些都是促进学生数学成绩提高的关键。因此，数形结合思想在初中数学教学中有着极其重要的应用价值，同时也符合现代教育理念。
三、数形结合思想在初中数学教学中的实践策略
1.以几何图形解释数量关系
在初中数学中，最常见的题目之一是数量关系类型的题目，而这类题目可以利用数形结合思想来解决。例如，在相反数、绝对值等的大小比较中，可以通过画一个数轴，然后在数轴上找到对应的数值位置，最后根据其位置进行大小排序的方式来解决问题。这属于最基本的数形结合思想，大部分学生对于数形结合思想的认识就是从数轴开始的。而在此基础上，还可以扩展到方程及应用题解方程等方面，这些是更深层次的数形结合思想。例如，学生都知道a2-b2=（a+b）（a-b），这是根据平方差公式所得出的结果。但是，大部分学生只会机械地记忆公式，却不明白为什么是这样。这种情况下，教师可以利用数形结合的思想，将这一数字问题转化为几何图形问题：在一个边长为a（面积为a2）的正方形A中扣掉一个边长为b（面积为b2）的小正方形B，求A剩余部分的面积。一种计算方式是直观的A的面积减去B的面积，即a2-b2；另一种计算方式是将A剩余部分重新拼接，获得一个新的长方形C，而C的面积即为（a+b）（a-b），这样学生就能够理解为什么a2-b2=（a+b）（a-b）了。
2.以数量关系推导几何图形性质
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关键词：数学；分类讨论
新课标指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。初中阶段常见的数学思想包括：函数与方程思想，化归思杨，分类讨论思想、数形结合思想等。其中分类讨论思想是初中数学中最常见、最重要的一种数学思想，它贯穿于整个初中数学，它有利于考查学生的综合数学基础知识和灵活运用能力。
一个数学问题是否要分类及如何分类，这种经验的积累是十分重要的。一般情况下，分类讨论一般应遵循以下的原则：
1、同一性原则。分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。例如：有些同学把三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、不等边三角形、等腰三角形。这个分类就不正确了，因为这个分类同时使用了按边和按角两个分类标准。
2、相称性原则。分类应当相称，即划分后子项外延的总和，应当与母项的外延相等。3、互斥性原则。分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。4、层次性原则。分类有一次分类和多次分类之分。一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。
一般来说，教师在教学活动中可按以下三个步骤引导学生建立分类讨论的思想，学会分类方法，揭示分类讨论思想的本质，自觉合理的运用分类讨论的思想解决相应数学问题，形成能力。
1有意识地分阶段渗透分类讨论思想
2启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质
这道题势必要考虑图像的开口方向，又要考虑对称轴和顶点的位置。要对字母a和m分类。怎么分，则应由学生讨论，互相补充，互相评价，逐步完善。
例3初中课本第四册证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
在几何中，常常由于图形的的形状、位置的不同而要进行分类讨论。这是课本第一次正式的采用分类的方法证明几何定理的。为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如上图）去证，要在学生画图、测量、分析、讨论后形成思路。决不能在这些活动之前给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，无法体会分类证明的目的和优点。
3创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想
在初中数学中，若涉及到以下几个方面，往往需要进行分类讨论：
分析：该题是含有字母的方程，根据题目的要求，以下三种情况可使方程只有一个实数根：
化得的整式方程为一次方程，则只有一解（且这个根不能是增根）；
2）化得的整式方程为一元二次方程且判别式为零，则只有一解（且这个根不能是增根）
3）化得的整式方程为一元二次方程且判别式大于零，解得的两根中需有一根为增根。
在几何中由于图形的形状、位置的不同，条件的不确定，常常需要分类讨论。如这道例题。在实际教学中可以碰到很多这种习题。如：
初中几种常见的数学思想篇6
一、初中数学符号语言的概念
1.初中数学符号语言的定义.
数学语言指的是数学学科中的空间和数量关系之间的一种语言，是数学知识的载体.数学语言可以分为文字语言、数学符号语言、数学图像语言三个方面.三者之间相互转化，共同解释数学知识.其中数学符号语言是比较独特的一种数学语言.另外，数学符号在数学中最为常见.首先数学运算中就会经常出现符号，符号的发展极大地推动了数学运算的发展.从而逐渐形成了一系列的数学公式和符号，之后逐渐衍生出现代数学.其次，在数学逻辑推理的过程中也经常会出现符号的运用.数学符号可以大致分为数量符号、对象符号、运算符号、关系符号、辅助符号等几种.数学符号语言是通过人们对数学长期的研究和探索，逐渐形成的一种数学表达形式.数学符号语言主要强调数学符号是有规律可循的，是比较系统的.
2.初中数学符号语言的特点.
从数学语言和数学符号两个方面考虑，数学符号语言具有准确性、通用性、抽象性、概括性等特点.其中准确性指的是数学学科自身的严谨性决定了数学符号语言的准确性.在对数学符号进行创新的时候，数学公式、定理中的符号表示的意义需要尽量准确.另外，在数学符号语言的相关条例下，符号所表示的数学内容也是唯一准确的.数学符号语言的通用性主要是表示数学知识是跨国界的，另外，在数学以外的学科中也可以使用.数学符号语言的抽象性是最明显的一个特点，其抽象性的同时还具有一定的形式化特点.
二、初中数学符号语言学习的重要意义
数学符号语言在形成的初期主要是为了辅助数学思维，并发挥作用.目前初中生的数学学习目的主要是解决现实中的数学问题，并通过数学学习提升自身的思维能力.初中数学符号语言学习的重要意义主要体现在以下几个方面.首先，初中数学符号语言学习能够培养学生的数学思维.数学符号语言本身就能够清晰地刻画一部分数学思维模式，学生在学习中会潜移默化地形成一种思维定式，从而使得学生在遇到用符号表示相关的数学知识的时候，就会直接进行程序化的操作.其次，有利于形成一定的数学联想.数学符号语言主要是将抽象的理论知识转换为具体的符号，在这个过程中，主要是通过数学思维来完成的，主要是数学思维的产物.学生将已有的知识和数学思维相结合，会进行一定的数学联想.数学符号语言主要是将思维具体化，当学生遇到数学的符号时候，就会激发出学生对符号的联想，从而进行创新.
三、优化初中数学符号语言学习的策略
第一，熟练掌握初中所要学的数学符号语言.教师应该加强对数学符号语言的讲解，让学生了解符号.在初中数学教学中会出现以下几种数学符号：、x2、y、a、b、=、≤、≌、-、±、Δ、sin、（）、[].教师需要规范自身对各种数学的符号读和写，促使学生正确的读写方法.另外，还需要培养学生的符号语言表达能力，能够将符号转换为文字信息.在解题的时候，需要引导学生根据题中的数学符号，了解题目的意思，在反复练习的过程中，促使学生养成良好的数学符号使用习惯.