三角函数值规律范例(3篇)

三角函数值规律范文篇1

关键词：数学概念；单位圆；三角函数

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式，是抽象化的空间形式和数量关系，是反映数学对象本质属性的思维形式。在高中数学的学习中，我们要涉及很多的数学概念，如“映射”“函数”“任意角三角函数”“单调性”“奇偶性”等等。在新课程的推进过程中，很多老师会在教学中利用探究性的教学方法，让学生进行探究，引导学生形成数学概念，但本人认为，并不是所有的概念都适合进行探究性学习的。接下来以“任意角的三角函数”为例进行分析。

“任意角的三角函数”教材中以初中所学的锐角三函数数为引入，要学生利用直角坐标系中角的终边上的坐标来表示锐角三角函数，进而转化到利用单位圆上点的坐标定义三角函数。可是在教学过程中，本人发现从长度到坐标的转化过程学生理解上存在困难，而且在知识点的迁移扩展上存在不清楚的问题。例如，以下教学过程：

引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗？

思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P在α的终边上的位置的改变而改变呢？

显然，我们可以将点取在使线段OP的长r=1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：

思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示。那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数。

探究新知：

1.探究：结合上述锐角α的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？

显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了。所以。我们在此引入单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。

2.思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？

如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么：

（1）y叫做α的正弦（sine），记做sinα，即sinα=y；

（2）x叫做α的余弦（cossine），记做cosα，即cosα=x；

注意：当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P（x，y），从而就必然能够最终算出三角函数值。

3.思考：如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如何求它的三角函数值呢？

教学案例中通过对初中锐角三角函数的复习，针对新知识任意角如何求三角函数的问题进行提问探究，但是从长度到坐标的转变其实并不是那么的自然，显得有些牵强，学生此时也只是根据老师提示和教材上的内容进行学习，所以在这里进行的探究本人认为并不是特别必要。因为三角函数的概念其实应该是一个定义性质的概念，不存在探究的问题，利用单位坐标的定义才是其比较全面、完整的定义，而初中所学的锐角三角函数的定义其实是在所学知识有限的情况下所做的定义，并不是由锐角三角函数推广得到任意角的三教函数的，所以在这里，个人觉得直接给出任意角三角函数的定义，让学生与初中所学的锐角三角函数进行比较，发现其中的问题：在锐角的情况下，任意角三角函数所对应的坐标都可以用直角三角形的边长来进行代换，也就是说，初中所学的锐角三角函数其实是现在所学的任意角三角函数的一种特殊状况，而不是说任意三角函数是锐角三角函数的推广。

通过此例分析，本人认为，在概念的教学中，并不是说进行探研就一定是好的，更不能为了迎合新课程改革，为了探究而探究，做表面功夫，而忽略了学生学习认识的规律，这样往往看上去好看，但教学效率反而更低。所以在概念教学过程中，教师要根据所授内容的实际情况，结合学生学习认识的规律，加上教师对所授内容的理解，进行具体的教学策略选择。

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃.中学数学教学概论.北京师范大学出版社，2008-04.

[2]章建跃，陶维林.注重学生思维参与和感悟的函数概念教学.数学通报，2009（8）.

三角函数值规律范文

一是数学概念的形成是渐进性的，它符合学生的认知规律，体现学生学习、完善数学知识的过程。在学生了解了概念的形成过程后，不仅能够体会相关知识的差异，而且还能体会到这个概念形成过程中的思维特点，真正透彻地掌握相关概念。如三角函数的概念，初中时是在直角三角形中学习三角函数，而高中是在学习了函数概念之后学习三角函数。因此，高中三角函数的定义需要将以上两个概念有机地结合在一起，从函数的三要素即定义域、值域、对应法则角度重新认识三角函数概念。这里学生最难理解的是“对应法则”。对应法则应该是“x对应到角x与单位圆交点的纵坐标(特殊的对边/斜边)”，这样，任意给出一个角，通过计算该角终边与单位圆交点的坐标，就能得到需要的三角函数值了。也就是说强调“对应法则”使得我们计算任意角的三角函数值，不再局限于在直角三角形中计算出几个特殊角的三角函数值。通过对三角函数定义中的“对应法则”的强调，既加深了对函数概念的认识，又体会到了三角函数不过是一个特殊的函数，初中的三角函数是高中三角函数的特殊情况。于是建立在原有知识基础上的，在实数范围内的三角函数概念就形成了。

二是在教学中要关注概念的应用价值，数学概念的充分理解体现在概念的应用上。一方面，数学概念的应用体现在以这个概念为背景的新知识点的形成上。以三角函数概念为例，学生在学习了三角函数的概念后，学习“符号问题、三角函数线、同角三角函数式、诱导公式”等知识点总是感觉杂而乱。其实这些知识点都能很好地体现三角函数自身的特点，它们都是围绕三角函数的概念展开的。其中，“符号问题”是从坐标角度体现三角函数概念的应用；“三角函数线”是从图形的角度体现三角函数概念的应用；“同角三角函数式”是从数量关系的角度体现这几个函数之间的关系；“诱导公式”是从角的位置关系角度体现三角函数概念的应用。对初学者而言，如果孤立这些内容，确实会感觉三角函数内容杂而乱。因此，教学时需要找到好的切入点，即应从三角函数的概念切入，合理展开思维。另一方面，数学概念的应用体现在解决具体的问题中。因此，在日常的教学中，知识点的教学要完整体现它的形成过程，不能舍弃过程而只注重结果是否正确。在知识的形成过程中，不只有需要的结论，更蕴含着思维方法。让学生从概念的每一个词语寻找解题的信息点，养成用概念约束思维的好习惯。

三是在教学中要关注概念教学中的能力培养。如数学符号与图形语言、自然语言的相互转化能力。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化，但同时也使得学生在形成概念及应用时加大了难度。因此加强数学符号与图形语言、自然语言的相互转化，可以使学生在面对新概念时，从数、形以及语言的不同角度来研究，使得学习数学的能力大大提升。

加强概念教学，可以培养数学素养，体会数学思想。作为教师，教学中要遵循科学规律的方式，合理而高效率地教授数学概念，让学生了解博大精深的数学之美。

三角函数值规律范文

一、深入理解锐角三角函数的概念

1.理解锐角三角函数的定义.

（1）正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关；

（2）在RtABC中，∠C=90°，锐角三角函数值[ab]、[ac]和[bc]都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而唯一确定，因此它的大小仅与角的大小有关，而与所在的直角三角形的边的长短无关；

（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一个完整的符号，tanA不是tan与A的积，离开了∠A，“tan”就没有意义了，只有合起来，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；

（4）符号tanA表示∠A的正切，在符号tanA中，习惯省去角的符号“∠”，当用希腊字母α、β等表示角时，其正切中角的符号习惯上也省去，但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时，角的符号“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

2.应用锐角三角函数的定义.

例1（2016・甘肃兰州）在RtABC中，∠C=90°，sinA=[35]，BC=6，则AB=（）.

A.4B.6C.8D.10

【分析】先画出图形，如图1，在RtABC中，由锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入即可求出AB的长.

【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键，做题时边读题边画一个直角三角形，数形结合、看图说话，可避免主观出错.

二、理解记忆特殊角的三角函数值

任意角的三角函数值都可以由计算器获取，但由于特殊角的三角函数值常见常用，所以应当记忆，这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.

另外，观察表格，我们还有收获.横着看：正弦值、正切值，随着角度的增大而增大（其中tan30°?tan60°=1=tan45°）；余弦值，随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律？对所有的锐角三角函数都成立吗？有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看：sin45°=cos45°；斜着看：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°.学习数学，要善于观察、思考，这样才能不断提升自己.

例2式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是（）.

A.[23]-2B.0C.[23]D.2

【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.

【评注】本题考查了特殊角的三角函数值，因此，一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.

例3已知tanA=[23]，∠A为锐角，则∠A的取值范围是（）.

A.0°

C.45°

【分析】要确定∠A的取值范围，只要确定[23]在哪两个特殊角的三角函数值之间即可.因为[33]

【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值，还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.

三、解直角三角形及其应用

1.直角三角形各元素之间的关系.

如图2，在RtABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系：

三边之间的关系：a2+b2=c2；

两个锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；

边角之间的关系：sinA=cosB=[ac]；cosA=sinB=[bc]；tanA=[1tanB]=[ab].

2.解直角三角形的基本类型及解法.

由此我们知道：在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活，尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.

例4（2016・江苏苏州）如图3，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（）.

A.[23]mB.[26]m

C.（[23]-2）mD.（[26]-2）m

【分析】先在RtABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定义计算AC即可.

【解答】在RtABD中，sin∠ABD=[ADAB]，

AD=4sin60°=[23]m，

在RtΔACD中，sin∠ACD=[ADAC]，

AC=[23sin45°]=[26]m，故选B.

【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件，利用已知的边和角求出未知的边，进而解决问题.

例5（2016・四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图4所示，则下列关系或说法正确的是（）.

A.斜坡AB的坡度是10°

B.斜坡AB的坡度是tan10°

C.AC=1.2tan10°米

D.AB=[1.2cos10°]米

【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度（这个度的意义不是角度），它是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，是一个比值，一般用i表示，常写成i=h∶l的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα.

【解答】根据坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=[BCAC]=tan10°，选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形应用中的基本概念：坡度、坡角，理解坡度的含义是解题的关键.

例5（2016・山东菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，如图5，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20[（1+3）]海里的C处，为了防止某国巡警干扰，就请求我国A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离.

[图5][图6]

【分析】本题属于解直角三角形的应用――方向角问题，认真审题，理解方向是解题的关键.如图6，过点A作ADBC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的方法，可得出AD，进而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可列出方程，解出x的值后即可得出答案.

【解答】如图6，∠ACD=45°，∠ABD=30°.

设CD=x，在RtACD中，可得AD=x，

在RtABD中，可得BD=[3x]，

又BC=20[（1+3）]，CD+BD=BC，

即x+[3x]=20[（1+3）]，

解之得：x=20，

AC=[2x]=[202]（海里）.

答：A、C之间的距离为[202]海里.