初中数学求最值的方法范例(12篇)

初中数学求最值的方法范文篇1

【关键词】初中数学分类讨论探讨

【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1674-4810（2014）01-0133-02

分类讨论是初中数学中常用的数学思想方法之一。在新课改的大环境下，要想在初中数学教学中，使学生真正地掌握分类讨论的方法，教师要对这种方法的意义和重要性等方面有详细的认识和了解，并对其应用的策略与方法熟练掌握、不断探索创新。

一初中数学教学中分类讨论的必要性

在新课改中，强调了对学生综合能力的培养，学生总体素质和能力的提高是教学的重点。对有关的数学问题进行分割，将其按种类进行划分，然后对其进行逐个的解答，这个过程称为分类讨论。做好分类讨论的教学工作，符合新课改的要求，有利于学生整体素质和能力的提高。在进行分类讨论时，最基本的要求就是做到尽量不要将知识点重复讲解，也不要遗漏重要的知识。在初中数学教学中运用分类讨论的办法，能够有效地提高学生的创新能力和探究能力，在这一点上与新课改的要求是一致的。分类讨论对于学生思维的培养有着积极的作用，能够提高学生思维逻辑的有序性和严谨性，使学生能够对遇到的问题进行全方位的仔细分析，对其进行更深一步的探究，同时还能使学生的思维更加连贯。虽然在初中数学中的分类讨论有很多的好处，但是其对于学生来说，具体学习和掌握起来有很大的难度。通过多年的教学工作和学生的学习效果来看，很多学生还是做不好分类讨论，表现为对分类讨论运用得不够，在进行分类讨论的过程中，对于问题的考虑不够全面，使得在考试中这方面问题的得分率不高。对导致这种现象的原因进行分析，主要是在实际的初中数学的教学中，教师对于分类讨论思想的强调和讲解不够，学生不能够熟练地运用分类讨论思想。

数学问题究其本质是一样的，只是在某些具体问题上存在着差异，在对这些数学问题进行分类时，导致需要进行分类讨论的原因主要有以下几种：

第一，数学中相关概念的不同，例如对于绝对值的定义，我们将其分为小于零、等于零和大于零这三个具体的情况；对于求含有字母的绝对值的问题时，也要进行分类讨论；此外还包括对实数进行分类等等。

第二，某些数学公式、定理以及性质等在进行变换时存在着特定的约束限制条件，这时候也需要进行分类讨论，如对一元二次方程根的解决。

第三，在几何知识中，在图形的位置之间的关系变化和图形大小的变化等问题上，需要进行分类讨论，例如圆和直线的关系的确定；圆和圆位置关系的确定；利用圆周角确定同弧的圆心角时，都要用到分类讨论。

第四，在式子中存在某个字母参数时，要对参数的取值范围和各种临界点进行分类讨论，例如一次函数中K值的不同引起函数图像的变化；不等式的性质等等。

二初中数学中运用分类讨论思想的重要意义

当我们在对于一些数学问题进行求解时，问题对象的不同可能会对研究结果造成很大的不同，使得最后的结果不能满足实际情况，所以，在求解的过程中，对于具体问题要进行分类的讨论；另外，随着问题的研究，出现了多种情况，也需要我们对其进行分类讨论和研究。

在解决数学问题的时候，运用好分类讨论，能够将原本复杂的问题简化，能够更清楚地了解问题的本质，在某种特定环境下对问题进行分析，使问题变得简单。“分类讨论”简单来讲就是对于数学问题先进行分类，然后逐个进行讨论。在对教材和教学大纲的阅读时可以发现，在初中数学的教材中对分类讨论是由易到难来进行安排的，将“分类讨论思想”划分为两个部分。首先是“分类思想”，它在初中数学教材的编排中较为重视，对此方面的教学安排较多，目的是为了使学生建立起分类的好习惯，正确运用分类方法。其次是“讨论思想”，对于讨论方法的学习要求教师在教学中向学生逐渐渗透。

三初中数学教学分类讨论思想的基本原则

在初中数学中的分类讨论要严格遵照一些基本原则去进行，本文将这些原则大体总结为以下几点：

1.标准一致性原则

在进行分类时要按照一致的标准进行，对于同一个问题在进行分类时按照不同的标准进行，这样会造成分类的混乱。例如，在实际的教学中，有的学生对三角形进行分类时，将其分为钝角三角形、锐角三角形、直角三角形、等腰三角形、不等边三角形。在分类时将按角分类和按边分类混用，造成了分类的混乱。锐角三角形中存在着等腰三角形，直角三角形同时也可能是等腰三角形；而等腰三角形中同时包含着锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。这种混乱的分法对于学生的学习和理解无形之中增加了困难。

2.无交集原则

在进行分类后，各个分类情况中包含的子项应该是彼此没有交集的，要做到互相排斥，不产生关联，要做到同一个子项只属于某一个大类。例如在运动会上，班级里有十个同学参加了田径和舞蹈两个比赛，其中七个人参加了舞蹈比赛，六个人参加了田径项目。假如将这十个人按照参加舞蹈和田径比赛来进行划分，这就违背了无交集原则，这是因为，在这十个人当中，一定有人参加舞蹈比赛又参加了田径比赛。

3.相称性原则

在进行分类时要做到相称，也就是说在分类之后，分成的各小项的总和在进行扩展和延伸时，要与未分类之前问题的拓展和延伸相对称，不能在分类之后，在进行问题延伸时与原问题出现差错。例如对于有理数的分类，有的学生将其分为负有理数和正有理数，这就违反相称性原则。分类后各项进行延伸后的和小于分类之前的，没有将零这种特殊的有理数考虑在内，因为零既不属于正数又不属于负数。

4.多层次性原则

对问题的分类包括一次分类和多次分类。“一次分类”指的是对于所讨论的问题或对象只进行一次分类；“多次分类”指的是在进行首次分类后，对于分类后的各个小项再次进行分类，一直到能够达到实际需要。在实际中，一些较为复杂的问题，常常会用到“二分法”，根据一些性质对其进行划分，将所讨论问题进行不断地延伸，直到在分类中出现矛盾。

四初中数学中进行分类讨论的一般步骤

在初中数学中进行分类讨论是要遵循一定的步骤，其大体步骤如下：（1）对讨论问题和对象的取值范围以及其本身进行确定；（2）对于分类标准要进行正确、合理地选择，做到分类的合理；（3）按照所分类型逐个进行分析讨论，解决问题；（4）对于讨论的结果进行总结。

五在初中数学的教学过程和解题中对分类讨论思想的具体应用

要想在初中数学的教学过程和解题中应用好分类讨论思想，首先要求教师在进行知识传授的同时，重视对分类讨论思想的渗透，从而帮助学生养成遇到问题分类讨论的好习惯。目前，初中生在数学的学习中对分类讨论运用的效果不好，其遇到问题进行分类讨论的意识还有待增强，不清楚该对哪些问题进行分类讨论，头脑较为混乱。另外，分类讨论思想不同于其他的数学知识，不是通过短时间的学习就能够学会的。这就对教师提出了更高的要求，教师要对教材进行更进一步的研究，在教学中结合有关知识渗透分类讨论思想，帮助学生建立分类讨论的习惯，对其本质进行更好地揭示，从而使学生能够更好地运用分类讨论思想解决有关问题。

下面根据本人在教学中分类讨论教学的实例，来讲解在初中数学的教学中如何具体地应用分类讨论方法。

例1，当m为何值时，函数y=（m+5）x2m-1+7x-3（x≠0）是一个一次函数。

解答：当（m+5）x2m-1为一次项时，要求2m-1=1；则m=1，函数为y=13x-3。当（m+5）x2m-1为常数项时，

2m-1=0；则m=，函数为y=7x+；当m+5=0时；

m=-5，函数为y=7x-3。

点评：对（m+5）x2m-1进行讨论，考虑其是常数项或者一次项的情况，对这两种情况分别进行解答，求出满足条件的m的所有值。

例2，若|n-m|=m-n，且|n|=4，|m|=3，则（m+n）2为多少？

解答：由于|m|=3，|n|=4，所以m为3或者-3，n为4或者-4；又由于|n-m|=m-n，因此，m-n的值大于等于零，且m大于等于n；当m=3时，n的可能取值是-4，结果是1；当m=-3时，n的可能取值是-4，这时的结果为49。所以（m+n）2的所有可能的值是49或1。

点评：与绝对值相关的问题，在解答时要特别注意对其进行分类讨论。对其各种情况进行合理的分类，才能得到正确的完整结果，若不能进行分类，会造成最终结果的不全面，导致错误。

例3，某运动旗舰店卖篮球袜和护腕，篮球袜的定价为200元一组，护腕的定价为40元一套。卖家在进行促销时有两种具体的优惠方案，第一种是买篮球袜送一套护腕；第二种方案时篮球袜和护腕均按原价卖，顾客在同时购买时，可享受九折优惠，并且只能选择一种优惠方案。某个运动队教练要到该旗舰店购买20套篮球袜和20套以上的护腕，请为这个教练选择一种最经济的购买方案。

问题分析：由于题干中没有具体说明要买的护腕的数量，所以这种购买方案具有不确定性，是由购买的篮球袜的数量而决定的。

解答：假设教练要购买篮球袜x套，则根据方案一，所付款数为200×20+（x-20）×40=40x+3200（元）；根据方案二，所付款数为：（200×20+40x）×90%=36x+3600（元）；设两者的差为y，则y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400（元）。（1）当y

根据以上分析，当购买护腕数大于20套而不足100套时，选择方案一；当购买护腕数等于100套时，哪种购买方案都行；当购买护腕数大于100套时，选择方案二。

六总结

以上就是对初中数学分类讨论思想的论述，分析了在初中数学教学中分类讨论思想的意义和重要性，并简单介绍了其应用的基本原则和步骤，最后根据本人在教学中的实际，列举了分类讨论的具体应用。由于本人能力有限，对这方面的研究还不够充分，还需要在今后的教学中进一步探索，让学生在解决数学问题时真正掌握分类讨论的思想方法。

参考文献

[1]邓凤文.如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想[J].中学教学参考，2013（26）：65～66

[2]徐桂彬.浅谈初中数学分类讨论教学[J].中学生数理化，2013（3）：130～132

[3]顾伟.浅议初中数学分类讨论思想的运用[J].中学数学，2012（14）：112～113

初中数学求最值的方法范文

【关键词】多项式方程的根；二分法；狼群算法；最优解

【Abstract】Foroftenencounteredinengineeringandscientificcomputingpolynomialequationrootoftheproblem，traditionalmethodshaveadichotomy，Newton'smethodandsoon.However，theyarenotthebestwaytoengineeringbecausetheconvergenceisslowandlowinefficient.Asfortheseshortcomings，thispaperhadbeenproposedWolvesAlgorithmtomakeoutpolynomialequationrootsoftheproblem.ItusetheadvantagesofWolvesAlgorithmcomputationalrobustnessandglobalconvergenceofmultipleiterationsoftheequationtofindtheoptimalsolution.Comparedwithotheralgorithms，therewasrelativelybetterstabilityandglobaloptimization.Finally，anumericalsimulationresultsshowthatthealgorithmcaneffectivelyfindtherootsofapolynomialequation.What’smore，itcanworkaccuratelyandquickly.

【Keywords】Polynomialequationroots；Dichotomy；WolvesAlgorithm；Optimalitysolution

0引言

求解多项式方程的历史可以说成是一部代数学史，人们很早就开始探索高次方程的数值求解法的问题。随着计算机的不断发展，求解多项式方程的方法研究也有了飞速的发展，传统求解多项式方程根的方法有牛顿法、二分法等以上方法，但也受到一些条件限制如对初始值的选取是否恰当。针对以上的问题，现提出一种模拟狼群分工协作式捕猎行为的群体智能算法――狼群算法求解多项式方程根，该算法具有较好的计算鲁棒性和全局搜索能力，并通过数值仿真实验的结果优于其他迭代法所求结果，是一种求解多项式方程根的数值解的方法。

1狼群算法

1.1狼群算法[1]简介

在自然界中，众所周知狼是群居动物，每匹狼都在狼群中扮演者重要的角色，狼的成功是狼与狼之间的默契配合，它们总能依靠团体的力量去完成每一件事。因此许多狼研究者对于狼的捕食行为提出了一种仿生智能优化算法――狼群算法（Wolfalgorithm，简称WA）。2011年，华北电力大学的鄢小虎和柳长安等学者提出了将狼群算法应用在移动机器人路径规划上，主要过程如下：

1）游猎过程：狼个体用爬山法搜索当前所在位置附近的局部最优值；

2）围攻过程：狼个体利用群体中最优狼个体的信息搜索全局最优值；

3）食物的分配过程：按“优胜劣汰”的分食原则，最壮的狼更容易得到食物，而最弱小的狼只能被饿死。新狼代替死狼，狼群得到更新，使狼群多样化。

这些步骤如图1[2]所示。

1.2狼群算法的原理[2]

以迭代的方式不断地寻找最优值，狼群的位置及优化问题的解。狼群通过初始化狼群、竞争领导者狼、向领导者狼移动、包围猎物以及分配食物五个步骤来实现求解最优化问题。

1.2.5分配食物

根据狼群的事物分配的原则，精壮的狼将优先获取食物，而接着在分配给较为弱小的狼。这样分配食物可能会导致最为弱小的狼会饿死。但是能确保精壮的狼能够继续生存下去，使得种群有着更好的适应能力。据优胜劣汰原则，移除最差的m匹狼，然后随机生成m匹狼。这样种群不易陷入局部最优，且使得种群具有多样性。

1.3狼群算法的步骤

Step1.初始化。狼群中有n个狼，最差的有m个狼，首领狼有q匹，搜索h个方向得到最大的搜索次数是maxdh，搜索步长和移动步长分别为stepa和stepb，ra和ra分别为围攻步长的最大值最小值，maxt是最大迭代次数。初始化每匹狼的位置用公式（1）；

Step2.选最优的q匹狼通过搜索来竞争首领狼，第i匹竞争狼通过式（2）不断向前搜索到最优的位置；

Step3.众多的竞争狼中选出最厉害的狼作为领导者，剩下的狼向着领导者靠近移动，位置按（3）式更新；

Step4.首领狼搜索到猎物。其他狼包围猎物，通过式（4）对其位置进行更新，并对更新后的位置依照公式（5）进行越界处理；

Step5.对狼群的更新是按照狼群分配食物的原则，除掉最差的m匹狼，同时m匹狼通过（1）随机产生。

Step6.一次迭代结束，进行下一次迭代，判断是否满足结束的条件，满足条件退出循环，记录结果；不满足条件，转到step2。

1.4狼群算法的流程图[4]

2狼群算法求解多项式方程的步骤

Step1.初始化狼群，包括各初始化仿真参数，狼群的个数N_num、最大的迭代次数Max_iter，探狼比例因α，最大游走次数T_max，距离判定因子w，步长因子S等等；

Step2.初始化头狼，通过迭代计数剔除最次狼个数，同时初始化出除头狼外的最佳人工狼为探狼，并执行游走行为，直到某只探狼比头狼感知猎物的气味浓度大或者达到最大游走次数。

Step3.狼个体的游猎过程，旨在寻找多项式方程的局部最优值，是求解多项式方程根的算法的中间力量。根据侦查出的气味浓度，更新头狼及其位置，并发起召唤行为，实现了多项式方程根的多样性，避免算法陷入局部极值。

Step4.统计狼群信息选出探狼和猛狼，如果猛狼离猎物更近，置为头狼，然后发起召唤，执行围攻行为，不断更新头狼，并记录当前位置；

Step5.判断算法是否合理，如果达到优化精度要求或者最大迭代次数T_max，说明算法合理，则输出头狼的位置，即为多项式方程的最优根，同时结束迭代，否则转向步骤4；

Step6.采用多次迭代的方式降低狼群算法求解多项式方程根的随机性，通过人为设定循环次数来终止算法，从而得出多项式方程的最优解。

3仿真实验

仿真实验在以下硬件环境中进行：CPU：Intel（R）Core（TM）i5-2520MCPU@2.50GHz2.50GHz内存：4.00GB操作系统：Windows8系统类型：64位程序执行软件：matlabR2010a。

以下二个例子都是在固定的参数条件下进行运算，其中狼群个数N_num=30，1b=-4，ub=3，x=1b：0.05：ub；未知量个数dim=1；仿真参数Alpha=4，Beta=6，w=1000，S=2000，h=20，T_max=20。

例1求解多项式方程[5]x2-3=0在区间x∈[0，4]的一个根。

例2求解多项式方程[6]：x3-x-1=0在区间[1.0，1.5]内的一个实根。

4结束语

根据狼群算法的捕食原理，将其与求解多项式方程根相结合，提出了一种基于狼群算法求解多项式方程根的算法。利用狼群为了生存，不断在头狼的带领下搜寻、围捕猎物的过程，一步步的接近多项式方程的最优值，从而最终找到全局的最优解。通过仿真实验，与其他多种算法的比较，证明了同等条件下狼群算法对于数值问题的求解，是一种收敛更快速，结果更精确的有效方法。

【参考文献】

[1]王传伟.基于狼群算法的三维传感器优化布置研究[J].大连理工大学，2014（6）：13-17.

[2]SeyedaliMirjalili，SeyedMohammadMirjalili，AndrewLewis.GreyWolfOptimizer[J].SchoolofInformationandCommunicationTechnology，GriffithUniversity，Nathan，Brisbane，QLD4111.

[3].狼群算法与萤火虫群优化算法及其应用研究[D].广西民族大学，2014，44：4-7

[4]，周永权.一种基于领导者策略的狼群搜索算法[J].广西民族大学，信息科学与工程学院，2013，9（30）：2630-2632.

初中数学求最值的方法范文篇3

关键词：鱼眼图像；畸变矫正；图像预处理；图像增强

鱼眼图像的畸变矫正是以某种独特的变换方式将一副鱼眼图像转换为理想图像的操作，这种操作在全方位视觉导航中具有重要的作用，是系统自动识别、跟踪和定位目标所必须的基础操作。

1畸变图像的校正原理

根据畸变图像特点标定坐标图，求取标定点像素的理想值和实际值，同时生成坐标映射表，再把坐标映射表用于畸变图像的校正程序后，即可得到无畸变图像，具体处理过程如下：

1）标定坐标

镜头中心的畸变可以忽略为零，以镜头为中心，离镜头越远的地方畸变越大。以镜头为中心标定坐标图，对图像进行坐标的标定，按正方形均匀排列圆点，如图1所示。

2）图像预处理

先通过图像的、突出边缘细节；然后再用二值化处理增强调节对比度的图像，但部分样板点和背景的对比的差值较大，所以是设定一个阈值对整幅图像进行二值化，最后再对二值化后的图像再次进行中值滤波的方法处理，再次使用中值滤波方法可以有效的去除畸变图像中的部分椒盐噪声的影响。二值化的主要作用是可以提高畸变校正图像的质量，预处理图像可以为点阵样板圆点中心的确定提供重要的作用。

3）圆点中心的确定

由于图像畸变的影响，经过图像预处理后的畸变校正图像仍然是不规则的实心圆，然而样板中的确定的圆点却是规则排列的，所以可以在畸变校正的样板图像上把各个圆点的重心近似的替换为圆点中心，找出一个圆点的重心作为理想畸变校正样板图像上与之对应的点，并找出该点处于二维平面坐标之中与之距离之和最大的圆点，从各个圆点的坐标之中找出与之距离之和最大的圆点坐标，该点坐标即为畸变图像中与之相对应的点的坐标。再找出理想的点阵样板图像和该畸变校正图像中各圆点中心的位置，计算出点与点之间的垂直距离，即可得到点阵样板图像中各点之间的偏移量，从而可以描绘和构建畸变校正图像上的各个点之间偏移量的曲面。最后经过图像预处理过程的样板圆点中心的确定，可计算出其它圆点中心的坐标位置。

2有关鱼眼图片的粗略校正

1）求取鱼眼图像行和列的比值

将投射生成标准圆变换为鱼眼图片并求取图片中心点的方法与普通相机照相原理不同，对于提取出来的鱼眼图片的轮廓，我们先假定一个阈值，比如设一个灰度值30，用软件勾勒描绘出校正鱼眼图片大概的轮廓，然后先求出该轮廓的中心点坐标，根据轮廓的图形和鱼眼图像的中心点的坐标，可计算出畸变图像的圆半径，从而求取鱼眼图像的中心点坐标和鱼眼图像的粗略轮廓的图像的半径相对比，以便于将鱼眼图像的大概轮廓重新调整处理，变的更为精确和直观。假定畸变校正的鱼眼图片的半径中的行坐标曲线和列坐标曲线不相等，则我们需要将畸变校正的鱼眼图像中的园的半径的曲线与下面的公式相乘，然后就可以变换为普通的标准圆的图像。下面公式中（u，v）是畸变校正的鱼眼图片的中心点，β为畸变校正的鱼眼图像行和列的比值。

2）鱼眼图片的粗略扭曲校正

在得到中心点的坐标和校正形状之后，把扭曲的鱼眼图像通过投射降低图像的扭曲程度变为正常的四方形的图像。

在图2中，假设在没有扭曲的背景图像中，存在两个具有相同x坐标的点，即k点和h点，并且在背景图像中随着圆上曲线的经纬度的变大，扭曲程度也就越大，但是三维球面的整体从左到右的各个面的角度的差值全部都是相等的，而且在x轴方向上与二维畸变校正图像相对应的线段dx的均匀分割经度或是纬度也是相等的。因此在二维图像的X轴方向上任意点坐标经度或纬度之间的直线距离相等。由上述即可得出如下求得k点的x坐标的关系式：

上式中xh为h点在X轴方向上与图片中心O点的距离差，R为鱼眼图片的半径，yi为k点在Y轴方向上与图片中心O点距离差。并且在经过标准圆校正后，部分水平视域不是180°的鱼眼图片同样可以用上述方法进行校正。

3）图像间偏移量初值的求取

为了在畸变校正图像中获得两者的精确偏移量和初值，用最小化两幅图像的对应点的坐标亮度差的平方和函数，即相位相关度方法。相位相关度方法的具体内容是用利用最小二乘法迭代畸变图像上的x轴和y轴方向的坐标。首先需要设定一个初值（可以通过手工选取几组对应点确定适当的初值），即畸变图像上的x轴和y轴方向的坐标的迭代初值，再将初值带入到使用相位相关度的方法中自动求取偏移量的初值，然后再对偏移量的初值进行求精和判断该值的正确性，该值是否在正确的误差范围之内。如果在畸变校正图像中假设相邻两个图像的像素点的坐标值是f1和f2，则存在：f2（x，y）=f1（x-x0，y-y0），其中x0、y0是图像之间的偏移量。设f（x，y）的傅立叶变换为F（u，v），由此根据傅立叶变换的性质有：

4）简化偏移量初值

由以上步骤所得出的偏移量的初值，我们采用全局方法来简化偏移量的初值，以便于我们在后面求取其图像的相位相关度。首先需要的是对两幅畸变校正图像的所有像素点做傅立叶变换，由于用傅立叶变换对两幅畸变校正图像的像素点集的计算工作量太过于庞大，所以我们在此处简化求取过程。首先对两幅畸变校正图像做高斯递减金字塔变换，来减少两幅畸变校正图像的所有的像素点的个数，然后用上面的方法再次进行有关相位相关度求解和偏移量的求解。如果一维傅立叶变换的长度N不是素数，我们采用Cooley-Tukey算法来减少求解相位相关度的运算量。

5）求精偏移量及校正鱼眼图片的三维立体坐标表示

在拍摄鱼眼图像的过程中，我们是将设备固定在房间的一角，转动摄像头，用旋转拍摄的方法将整个房间的全景拍摄下来当作实验用的图像材料。所以每次我们把只有X轴和Y轴的二维平面坐标图像变换投射为带有X轴，Y轴和Z轴的三维平面坐标后，通过二维到三维的这整个过程中各个对应点的坐标之间的变换投射的方式求出精确的图像间的偏移量和扭曲校正系数，根据之前的各种计算和推论可以得出的三维空间内的几何约束方程，从而求取出畸变校正图像的偏移量，以及校正畸变图像的扭曲系数。与畸变校正图像上方中心点坐标（u，v）相对应的二维卡迪儿坐标（x，y），用图片中心坐标（u，v）为原点的极坐标表示为：

r和φ分别是畸变校正图像中用极坐标表示的半径和旋转角。由于之前对图像做过校正，故可以近似地用“等距离”模式表示投射图像，即用两个角度（φ，θ）表示空间三维射线，θ是射线与垂直于三维图像中的Z轴的夹角。因此我们可以从二维极坐标中推出鱼眼图像的三维球面坐标的公式如下：

我们在这里用刚体旋转变换表示相邻的两幅图像中i点和j点上的与之相对应的点在三维空间中的坐标关系（ωx、ωy、ωz：绕三维坐标轴X、Y、Z逆时针旋转的角度位移）：

6）偏移量求精和扭曲参数校正

用快速迭代最小差异平方和函数是求解图像间偏移量的一种常用而有效的方法，用其收敛的Levenberg-Marguard算法来求解相邻图像间对应点亮度差平方和函数：

Ii（xk）是图i上像素坐标点xk的灰度值，经过坐标变换后的像素坐标点xk在j图上的对应点的灰度值是Ij（T（xk））。其变换过程是：把二维空间的像素点坐标xk转换投射到三维空间的像素点坐标uk，然后为了得到j图的三维空间的坐标点，我们需要将之前的坐标点进行旋转变化，之后再使用逆变换公式将三维空间的像素坐标恢复为二维空间的像素坐标。但是我们在整个实验的过程中并不使用上述的方法，用一个图像中包含的二维空间坐标点集推出另一个图像中包含的二维空间坐标点集，我们只对未知参数的求解。其中包含了6个未知参数：鱼眼扭曲校正参数（C1，C2，C3）和旋转参数（ωx，ωy，ωz）。把初值设为C1=11411269，C2=-01094389，C3=0125674。而对于（ωx，ωy，ωz）的初值，在这里我们使用有关相位相关度的方法来求取畸变校正图像偏移量的初始状态的值，通过计算出两张畸变校正图像的对应像素的坐标点，将其转换为三维空间的坐标ui和uj代入公式即可求解得到（ωx，ωy，ωz）的初值。使用Levenberg-Marguard算法求解公式的方法是对函数E求偏导：

其中d是旋转参数向量，T（xk）是xk的像素灰度值函数。由于Ij（T（xk））的空间三维坐标是用公式由ui经旋转参数变换而来，所以对Ij（T（xk））求偏导就相当于对uj求旋转向量的偏导。

3结论

本文介绍的数字图像处理的方法进行光学系统畸变校正，校正后的图像中点与点之间的间隔均匀，排列整齐。不需要其它光学测量仪器，不必知道所使用的光学仪器或系统的使用参数，只需要将畸变校正图像进行相关的特征处理，整个实验过程方便，简单，并且实验效果理想，这种方法使用常使用于那些实验受内窥镜的体积不同和部分规格方面的限制，以及在日常实验中不能用光学像差实现畸变校正的光学仪器或系统。

参考文献：

初中数学求最值的方法范文篇4

一、进一步深入理解函数的概念

函数的定义在初中阶段已经讲述过，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射f：AB，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：

例1：已知f（x）＝2x2+x+2，求f（x+1）

分析：这里不能把f(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

例2：设f（x+1）=x2－4x+1，求f（x）

分析：这个问题理解为在已知对应法则f下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则，即求解析式。一般有两种方法：

（1）拼凑法：把所给表达式表示成x+1的多项式。

f（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1

得：f（x）=x2－6x+6

（2）换元法：对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1

f（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6从而f（x）＝x2－6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－■]及[－■，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学次函数的单调性。

例3：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性：

（1）y=x2+2|x－1|－1；（2）y=|x2－1|

这里要使学生注意这些函数与一般二次函数的差异和联系，掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

例4：设f（x）=x2－2x－1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t），求：g（t）并画出y=g（t）的图象。

解：f（x）=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2

当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=－2

当t＞1时，g（t）=f（t）=t2－2t－1

当t＜0时，g（t）=f（t+1）=t2－2

g（t）＝t■－2，（t＜0）－2，（0≤t≤1）t■－2t－1（t>1)

初中数学求最值的方法范文篇5

关键词：影响矩阵法，钢管混凝土拱桥；二次张拉；成桥索力；惩罚函数法

中图分类号：U448．27文献标识码：A

1、引言

对于采用少支架施工的柔性吊杆系杆拱桥，在吊杆张拉过程中，结构的内力和线形都在不断地变化。即使按照设计要求调整到了初始张拉力，使其按照设计所考虑影响索力因素后成桥达到最终成桥索力，然而桥梁施工中存在着各种误差，故成桥后实际吊杆索力并不能达到设计所要求的最终张拉力，必须通过二次张拉来实现，使得桥梁实际最终索力与设计最终索力一致，才能保证结构受力合理，运营安全。

本文以某钢管混凝土拱桥为工程背景，将影响矩阵理论引入到吊杆索力计算当中，采用约束最优方法[1]求解出施张拉力[2]、最优张拉顺序以及张拉过程索力控制终值。结果表明，该方法具有思路清晰、应用简单、计算精度高等优点。

2、二次张拉的影响矩阵法

已知吊杆初始索力{}和目标索力{}，拟定一合理的张拉顺序，在吊杆二次张拉之前这一初始状态下，分别给每一吊杆增加单位力为1的索力，计算出该单位力对结构指定物理量（包括索力、控制截面应力、控制点位移）的改变量，得出物理量的相关影响矩阵。通过影响矩阵法计算出在张拉各个阶段当前索的施调量{}，找出最优张拉顺序，在保证结构最安全的情况下使得在张拉完毕之后每根索索力达到目标值。

2.1影响矩阵法原理

现以一座简单的系杆拱桥为例。以吊杆的索力为受调向量来说明影响矩阵的构成。如图1，当在1号吊杆增加单位索力时，吊杆1、2、3、4、5相应的索力增量为{}（=1,2,3,4,5）,则在号索增加单位索力时，索1、2、3、4、5相应的索力增量为{}（=1,2,3,4,5）。则可得出索力影响矩阵为：

(1)

同理可以得出所需控制点的位移影响矩阵，关键截面应力影响矩阵分别为，其中:

(2)

的形式与相同。

图1系杆拱桥影响结构

2.2二次张拉最优控制的数学模型

吊杆二次张拉过程就是为了确定一个包含张拉顺序以及施张拉力大小的张拉变量序列，使得在该序列经历的一切中间状态下满足内力、位移、索力在一定范围的约束条件，在该序列的终点达到目标状态。

吊杆在二次张拉之前结构体系已形成，以此状态为结构初始状态。记该状态下索力值、控制截面应力值分别为：

(3)

(4)

控制点在该状态下的标高作为初始标高，即初始位移。

由文中所提出的方法计算出吊杆索力影响矩阵，为阶的矩阵，其中的元素表示在号索增加单位力为1的时候号索索力的影响值。令目标索力值为，施张拉力向量为，则有：

(5)

已知目标索力值，则可以很方便的求出施张拉力向量为：

(6)

求出施张拉力向量之后，在不考虑结构内力是否超过允许值的情况下，采用任何一种张拉顺序最终都能使全桥的索力达到目标值。但位移约束可在应力允许值内限制到最小，在使得满足约束条件的情况下，并尽量使目标函数达到最小值求解出最优张拉顺序，则可建立单目标、多约束的规划问题：

求

使；(7)

S.T.

采用约束最优方法中的惩罚函数法[3]将上述单目标、多约束二次规划问题转化为一系列无约束问题，求解得出满足约束条件下的最优张拉顺序。

3、工程应用

3.1工程概况

大桥主桥为的单肋下承式钢管混凝土系杆拱桥。桥跨径100m，桥宽20.5m；拱肋轴线采用抛物线，矢跨比1/5，拱顶轴线处矢高为20m；拱肋为两个长圆形钢管组合而成的矩形带圆形倒角的等截面钢管混凝土结构，内灌C40混凝土。

大桥共17对吊杆，左右对称张拉，简化为9组。首先由式(1)方法得出9组吊杆的索力影响矩阵，再通过施工阶段验算，得出在二期恒载铺装完成之后该阶段的索力值作为吊杆的初始索力值。施张拉力确定之后，视其初始位移为零，初始应力为二次张拉之前截面位置应力值。由式(2)方法得出吊杆对关键截面上缘的应力影响矩阵、竖向位移影响矩阵、。为了验证该计算方法的可行性，张拉之后对全部吊杆进行了索力测试。结果表明，吊杆实测成桥索力与设计成桥索力最大仅差5.4%。在规范允许范围之内。

4、结语

初中数学求最值的方法范文篇6

关键词：教学辅助；非线性方程求根；用户图形界面

中图分类号：TP319文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)13-3140-03

TheApplicationofMATLABGUIinNumericalAnalysisCourseTeaching

CHENLi-hong,ZHOUZhi-gang

(DepartmentofMathematicsandComputerCollege,WuhanTextileUniversity,Wuhan430073,China)

Abstract：Accordingtothedifficultinnumericalanalysiscourseteaching,itisdiscussedthattheMATLABGUI(GraphicalUserInterfaces，GUI)applicationinnumericalanalysiscourseteachingwithsolvingnonlinearequationsasexample.theviewisproposedthatdesigningMATLABGUIfornumericalanalysiswillfullyarouseteachersandstudentsbothaspectsoftheenthusiasmtoimprovequalityofnumericalanalysiscoursecombinedwithMATLABGUIfunction.

Keywords：auxiliaryteaching；solvingnonlinearequations；MATLABGUI

《数值分析》是理工科院校数学、力学、物理、计算机等专业的教材，它在专业课程体系中占有重要地位。该课程的主要任务是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，它的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、微分方程数值解等,这些均与计算机紧密结合在一起。如果采用传统的教学方式，一方面需要花大量的时间在黑板上绘图和计算，在有限的学时内无法进行内容的扩展；另一方面学生理解和接授知识时感觉枯燥、难度大。MATLAB软件的推出为该门课的教学提供了有利工具，利用MATLAB强大的绘图及仿真功能，可以将抽象的内容以形象的图形表示出来，既可演示复杂系统的未知结果，又可改变系统参数，演示系统随参数变化的变化结果或变化趋势，有助于学生对抽象理论的理解。然而在课堂上应用MATLAB演示所讲授内容，需要临时编程，这对于有限的课堂时间多有不便，而且界面也不直观，若能将MATLAB的可开发的GUI功能结合数值计算中的典型算法构造开放式的用户界面，既可充分发挥MATLAB的强大的计算功能，又可避免记忆繁琐的命令，不仅方便老师在课堂直观演示，而且便于学生课下自己设计系统，添加代码实现更多的演示功能，将会充分调动教师和学生两方面的积极性，全面提高课程的教学质量。

1图形用户界面设计简介

图形用户界面是由窗口、光标、按键、菜单、文字说明等对象（Objects）构成的一个用户界面，用户通过一定的方法（如鼠标或键盘）选择激活这些图形对象，使计算机产生某种动作或变化，如实现计算或绘图等。MATLAB的GUI编程可以用两种方式实现。一是GUI设计工具GUIDE，它的优点是非常容易入手，风格很像VB，相关控件可以随意拖动，GUI设计简单、省时，但GUIDE的一个严重缺点是无法直接创建核心对象；二是利用M函数构建GUI，即M文件界面设计，这种方法需要解决数据传递问题，如何正确实现回调函数中用户菜单或控件的句柄传送是M文件成功创建GUI的关键。事实上，不管采用哪种设计方法，事先都要分析界面所要求实现的主要功能，明确设计任务，并站在使用者的角度审查界面功能及界面的控件布局，然后进行代码编写，对功能进行逐项检查，调整完善界面功能。图形用户界面设计的一个基本原则要求具有简单性，即设计界面时应力求简洁、清晰地体现出界面的功能和特征，为此要尽量使用用户所熟悉的标志和符号，尽量删去可有可无的功能，尽量多采用图形结果，尽量减少窗口数目，力避在不同窗口之间进行来回切换。

2实例仿真及分析

非线性方程的迭代解法求根是数值分析课程的一个重要内容，初始迭代点及迭代函数的正确选取是求根的关键，为了使学生对迭代法求根有清醒的认识，下面以非线性方程迭代法求根的GUI实现说明MATLABGUI对数值分析课程的辅助教学功能。

不动点迭代法求根中需要选取迭代公式，确定迭代初始点、精度，不动点迭代法求根的界面如图1。图1不动点迭代法求根的GUI界面

界面中设置了五个edit控件，分别用于输入方程f(x)、迭代公式、迭代初始点x0、精度tol和最大迭代次数；四个PushButton控件，分别用于绘图、求解、重设参数和退出界面；一个axes控件，用于显示函数f(x)的图像；为体现设计的简洁性，界面中只设置一个List?box控件，所有的结果都将在Listbox控件中显示，这样设计使界面更加合理化。系统能输入任意的方程，通过huatu_pushbutton3控件得到其图像，很容易判断该方程在零点的大致位置，即迭代初始点x0。输入方程后，单击画图控件，可以得到函数f(x)的图像，并显示在界面中。用编制好的GUI演示求解程f(x)=x3-x-1=0在x0=1.5附近的根x*，并用两种迭代公式求根，迭代公式分别为x=3，初始点x0=1.5，精度tol=0.000001,最大迭代次数N=20，左键单击不动点求解控件，得到求根运行界面，如图2。在运行界面中得到运行结果，并且在函数图像中标出了通过运行得到的方程的根。

选取迭代公式x=x3-1，初始点x0=1.5，精度tol=0.000001,最大迭代次数N=50的运行界面，左键单击不动点求解控件，得到如图3的求根界面。图2,图3分别为同一方程取不同迭代函数求根的运行界面，由此可以让学生直观的看出不动点迭代法求根在选取不同迭代函数时，得到的收敛效果不同，直观的体现了迭代函数的重要性。

用Newton法来求方程f(x)=x3-x-1=0在x0=1.5附近的根，精度tol=0.000001,最大迭代次数N=20。编制的GUI演示结果可以让学生感受到Newton法求根的收敛速度比不动点迭代法求根的收敛速度快。

学生通过以上非线性方程求根的GUI，很容易体会到不动点迭代求根选取迭代函数的重要性及不动点迭代与Newton法求方程根的区别。同时设计的GUI具有开放性，可以让学生课后添加控件与代码，实现GUI更多的功能，这样不仅能够提高学生对数值算法的理解，而且极大提高学生学习数值分析课程的兴趣及编程解决实际问题的能力。

3结束语

将MATLABGUI与数值分析课程结合起来,教师可以现场演示数值方法，开阔了学生学习数值分析课程的思路。若针对数值分析课程的所有教学重点内容编制一个辅助教学仿真软件，这对于数值分析课程的可视化教学、学生的数值实验更有意义。

参考文献：

[1]张志涌.精通MATLAB[M].北京:北京航空航天大学出版社,2000.

[2]陈垚光,王正林,毛涛涛.精通MATLABGUI设计[M].北京:电子工业出版社,2008.

[3]尚涛,石端伟,安宁,等.工程计算可视化与MATLAB实现[M].武汉:武汉大学出版社,2002.

初中数学求最值的方法范文篇7

论文关键词：例谈不等式恒成立中参数范围的确定

确定恒成立不等式中参数的取值范围，常需灵活应用函数与不等式的基础知识在两者间进行合理的交汇，因此此类问题属学习的重点；然而，怎样确定恒成立不等式中参数的取值范围？课本中从未论及，但它却成为近年来命题测试中的常见题型，因此此类问题又属学习的热点；在确定恒成立不等式中参数的取值范围时，需要在函数思想与数形结合思想指引下，灵活地进行代数变换、综合地运用所学知识初中数学论文，方可取得较好的解题效果，因此此类问题的求解当属学习的难点．笔者试对此类问题的求解策略与方法作一提炼总结．

一、不等式解集法

不等式在集合A中恒成立等价于集合A是不等式解集B的子集；通过求不等式的解集并研究集合间的关系便可求出参数的取值范围．

例1已知时，不等式|x2－5|<4恒成立，求正数a的取值范围．

解由得；由|x2－5|<4得1<x2<9，－3<x<－1或1<x<3．记A=，B=(－3,－1)∪(1,3)，则AB．∴－3≤<≤－1（无解）或1≤<≤3，∴0<a≤，故正数a的取值范围(0,]．

二、函数最值法

已知函数f(x)的值域为[m,n]，则f(x)≥a恒成立f(x)min≥a，即m>a；f(x)≤a恒成立n≤a．据此，可将恒成立的不等式问题，转化为求函数的最大、最小值问题．

例2若不等式2x－1>m(x2－1)对满足－2≤m≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围．

分析若将原问题转化为集合[－2,2]是关于m的不等式(x2－1)m<2x－1的解集的子集，则解不等式需分类讨论．若今f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，则可将问题转化为f(m)在[－2,2]上的最大值小于零，而f(m)是线性”函数初中数学论文，则最值在区间端点处取得，便有如下简解．

解令f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，则f(m)<0恒成立f(m)max<0

，解之得<x<，即x的取值范围为(,)．

例3若不等式x2－m(4xy－y2)+4m2y2≥0对一切非负的x,y值恒成立，试求实数m的取值范围．

解若y=0，则原不等式恒成立；若y≠0，则原不等式可化为

≥0；令t=，则t≥0且g(t)=t2－4mt+m+4m2≥0．问题转化为二次函数g(t)在区间[0,+∞)上的最小值非负．

故有或．解得m的范围为(－∞,－]∪[0,+∞)．

说明二次函数的图象与性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数在区间上的最值来研究恒成立问题，可使原本复杂的问题变得易于解决．

三、参数分离法

将参变元与主变元从恒不等式中分离，则在求函数最值时可避免繁冗的分类讨论，从而更好地实施函数最值法”．

例4若不等式2x+2≤a(x+y)对一切正数x,y恒成立，求正数a的最小值．

解参数分离，得a≥=f(x,y)．x+3y≥2，∴3(x+y)≥2x+2，∴f(x,y)≤3初中数学论文，∴a≥f(x,y)max=3，∴a的最小值为3．

例5奇函数f(x)是R上的增函数，若不等式f(m·3x)+f(3x－9x－2)<0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

解f(x)为奇函数，∴原不等式等价于：f(m·3x)<f(3x－9x－2)，又f(x)在R上为增函数，∴m·3x<3x－9x－2，不等式两边同除以3x，得m<3x+－1=f(x)．

3x+≥2，当且仅当3x=时取=”，∴f(x)min=2－1，故所求m的取值范围为(－∞,2－1)．

说明（1）在求解本例时，若无分离参数的求简意识，则必转化为含参二次函数在区间上的最值问题，不可避免地要进行分类讨论．

（2）诸多数学问题在通过代数变形后均可转化为形如f(x)=ax+型函数的最值问题，其最值的求解通常用重要不等式或函数单调性来完成．

四、数形结合法

将恒成立的不等式问题，合理转化为一函数图像恒在另一函数图象的上（下）方初中数学论文，进而利用图形直观给出问题的巧解．

例6若不等式3|x+a|－2x+6>0在R中恒成立，求实数a的取值范围．

解尝试前述方法均较麻烦，而将原不等式变为

|x+a|>x－2，令f(x)=|x+a|，g(x)=x－2，作

出它们的图象如右图所示，便有－a<3即a>－3，所

求范围为(－3,+∞)．

初中数学求最值的方法范文

关键词自动微分切线性模式数据相关分析统计准确率

1.引言

计算微分大致经历了从商微分，符号微分，手写代码到自动微分几个阶段。与其它几种微分方法相比，自动微分具有代码简练、计算精度高及投入人力少等优点。自动微分实现的基本出发点是：一个数据相对独立的程序对象（模式、过程、程序段、数值语句乃至数值表达式），无论多么复杂，总可以分解为一系列有限数目的基本函数（如sin、exp、log）和基本运算操作（加、减、乘、除、乘方）的有序复合；对所有这些基本函数及基本运算操作，重复使用链式求导法则，将得到的中间结果自上而下地做正向积分就可以建立起对应的切线性模式，而自下而上地做反向积分就可以建立起对应的伴随模式[1]。基于自动微分方法得到的切线性模式和伴随模式，在变分资料同化[2]、系统建模与参数辨识[3]、参数的敏感性分析[4]、非线性最优化以及数值模式的可预测性分析[5]等问题中有着十分广泛的应用。

迄今为止，已有数十所大学和研究所各自开发了能够用于求解切线性模式的自动微分系统，比较典型的有TAMC系统[6]、ADJIFOR系统[7]和ODYSSEE系统[8]。在一些特定的运用中，它们都是比较成功的，但在通用性和复杂问题的处理效率上还存在许多不足。通常，自动生成切线性模式的关键难题在于对象自身的强相关性，这给系统全局分析（如数据IO相关分析和数据依赖相关分析）和微分代码的整体优化都带来了很多困难。同时，对于程序对象不可导处的准确识别和微分处理，至今仍还没有一个统一而有效的算法。另外，最优或有效求解稀疏雅可比矩阵一直是衡量一个自动微分系统有效性的重要尺度。

统计准确率被我们视为评价一类自动微分工具及其微分模式代码可靠性与有效性的重要尺度。其基本假设是：如果对于定义域空间内随机抽样获得的至多有限个n维初始场（或网格点），微分模式输出的差分和微分逼近是成功的；那么对于定义域空间内所有可能初始场（或网格点），微分模式输出的差分和微分逼近都是成功的。微分模式统计准确率评价的具体方法是：在所有随机抽样得到的初始场（或网格点）附近，当输入扰动逐渐趋向于机器有效精度所能表示的最小正值时，模式输出的差分和微分之间应该有足够精度有效位数上的逼近。

DFT系统具有许多优点，它能够完全接受用FORTRAN77语言编写的源代码，微分代码结构清晰，其微分处理能力与问题和对象的规模及复杂性无关。它基于YACC实现，具有很强的可扩展性。DFT系统具有四个重要特色。它通过对象全局依赖相关分析，准确求解雅可比矩阵的稀疏结构，自动计算有效初始输入矩阵，从而可以用较小的代价求得整个雅可比矩阵。同时，它可以自动生成客观评价微分模式效率与可靠性的测试程序，对奇异函数做等价微分处理，并采用二元归约的方法，在语句级层次上实现微分代码优化。

2.系统概况

DFT系统主要由两部分组成：微分代码转换和微分代码评价，图2.1。微分代码转换部分接受用户输入指令并自动分析对象模式，生成切线性模式代码及其相关测试代码，后者直接构成微分代码评价系统的主体。微分代码评价是DFT系统的一个重要特色。DFT系统的开发小组认为，一个微分模式如果在可靠性、时间和存储效率上没有得到充分的验证，至少对实际应用而言，它将是毫无意义的。

微分代码转换部分从功能上分为四个部分：词法分析，语义分析，对象复杂性及数据相关分析和微分代码转换。对于一组具有复杂数据相关的程序模式对象，通常需要系统运行两遍才能得到有效而可靠的微分代码。这主要有两方面的考虑：其一，根据对象的复杂性（如最大语句长度、最大变量维数、子过程或函数数目、子过程或函数内最大变量数目等对象特征）选择合适的系统参数以求最优的运行代价；其二，模式内各子过程或函数之间以及一个子过程或函数内往往具有很强的数据相关性，需要事先保存对象的相关信息并且在考虑当前对象的属性之前必须做上下文相关分析。

2.2微分代码评价

通常，评价一个编译系统的性能有很多方面，如处理速度、结果代码可靠性及质量、出错诊断、可扩展和可维护性等。对于一类自动微分系统来说，由于软件开发人力的局限以及对象模式的复杂多样性,通过自动转换得到的微分模式并非常常是有效而可靠的（即无论是在数学意义上还是在程序逻辑上应与期待的理想结果一致），因而在微分模式被投入实际应用前，往往需要投入一定的人力来对其做严格的分析测试。

对切线性模式做统计评价测试的主要内容可以简单叙述为：在网格化的模式定义域空间内，选择所有可能的网格点形成微分模式计算的初始场；在不同的网格点附近，随机选取至少个线性无关的初始扰动，对每个扰动输入分别进行网格点逼近，统计考察模式输出差分和微分在有效位数上的逼近程度。图2.5描述了整个测试过程，它包含网格点数据随机采样（1）和网格点数据逼近（2）两级循环。

3.系统主要特色

DFT系统并不是一个完整的FORTRAN编译器，但它几乎可以接受和处理所有FORTRAN77编写的源模式代码，并且可以很方便地扩展并接受FORTRAN90编写的源模式代码。本节将着重介绍DFT系统（版本3.0）的以下几个重要特色。

3.1结构化的微分实现

DFT系统采用标准化的代码实现，切线性模式的扰动变量和基态值变量、微分计算语句和基态值计算语句总是成对出现，并具有清晰的程序结构。微分代码保持了原模式本身的结构和风格（如并行和向量特性、数据精度等），即语句到语句、结构到结构的微分实现。在奇异点或不可导处，DFT系统对微分扰动采取简单的清零处理，实践证明这对抑制扰动计算溢出具有重要意义，但并不影响评价测试结果。

3.2全局数据相关分析

DFT系统具有较强的数据相关分析能力，它包括全局数据IO相关分析、全局数据依赖相关分析、全局过程相关分析以及数据迭代相关分析几个不同方面。数据依赖相关与数据IO相关关系密切，但又存在根本不同。前者强调每个变量在数学关系上的依赖性；而后者描述了一个对象的输入输出特性，且具有相对性，即任何一个变量参数，无论它是独立变量还是依赖变量，在数学意义上都可等价为一个既是输入又是输出的参数来处理。

DFT系统记录所有过程参数的IO属性表，通过深度递归相关计算，准确计算每个过程参数的最终IO属性。DFT系统通过对数据相关矩阵做模二和及自乘迭代计算（An+1=AnAn2）来完成数据的依赖相关分析，这种算法具有很好的对数收敛特性。DFT系统通过全局过程相关分析的结果，自动生成模式的局部或整体相关引用树结构（如图3.1），这对用户分析复杂数值模式和微分评价测试都具有很好的指导作用。DFT系统还具有分析局部数据迭代相关和函数迭代相关的能力，这两种形式的数据迭代相关是自动微分实现颇具挑战的难题之一。

3.3自动生成测试程序

基于IO相关分析的结果，DFT系统自动生成微分测试代码，分别对切线性模式的可靠性和运行代价做统计评价测试。特别地，DFT系统还可将任何模式参数都视为输入输出参数，生成在数学意义上等价的测试代码，这样处理的不利之处在于往往需要极高的存储开销。

3.4基于语句级的代码优化

目前，DFT系统仅仅具备局地优化能力。在语句级微分实现上采用二元归约的方法对微分代码进行优化是DFT系统的一个重要特色。根据右端表达式的乘法复杂性及含变元数目的不同，DFT系统采取不同的分解策略。二元归约的方法避免了微分计算中的许多冗余计算，在一些复杂的非线性表达式的微分计算中具有最小的计算代价，同时也非常适合于微分系统的软件实现。同时，对于某些特殊的运算操作（除法、乘方）和特殊函数（如sqrt、exp），DFT系统较好地利用了基态值计算得到的中间结果，避免了微分实现中的冗余计算。

4.系统应用

运用自动微分工具得到的切线性模式，可以在无截断误差意义下求解函数的数值微分和导数、稀疏雅可比矩阵。同时这些结果在数值参数敏感性分析、非线性最优化以及其它数值理论分析中有着非常重要的应用。这里简单介绍切线性模式的几个基本应用。

4.1符号导数和微分

如果输入为数学关系式，DFT系统可以自动生成对应的微分表达式和梯度，而与数学关系式的复杂程度无关。例如我们输入关系式：，（1）

DFT系统将自动生成其符号微分形式及其梯度形式分别为，（2）

4.2数值导数和微分

切线性模式最基本的应用就是在一定扰动输入下求解输出变量的扰动（响应）。表4.1给出了DFT系统在对IAP9L模式、GPSRayshooting模式和GPSRaytrace模式三个数值模式做切线性化的具体应用中，一些不同计算粒度、不同引用深度和不同程序风格的核心子过程，以及它们的切线性模式在SGI2000上运行的统计评价测试结果，其中切线性模式的可靠性指标都准确到六个有效数字以上，在运行时间、存储开销和代码复杂性方面分别是原模式的两倍左右，比较接近于理想的微分代价结果（1.5倍）。除了IAP9L模式由于过于复杂仅做粗略统计外，其余模式都用非注释语句行数来表示各自的代码复杂性。

适当设置输入扰动的初值，运用切线性模式可以简单求解输出变量对输入的偏导数。例如，对于一个含有个输入参数的实型函数（3）

这里设，。运用DFT系统，可以得到对应的切线性模式（4）

其中，为切线性模式的扰动输入参数。可以通过以下办法来求得偏导数：（5）

其中。如果对于某个既是输入参数又是输出参数，可以类似以下过程引用的办法来处理。对于过程引用的情形，例如一个含有个输入参数的子过程（6）

其中，为输入参数；，为输出参数；，既为输入参数又为输出参数。运用DFT系统，可以得到对应的切线性模式为（7）

其中，，，分别为切线性模式的微分扰动输入、输出和输入输出参数。可以通过以下输入扰动设置并引用切线性模式（7）来求得偏导数：a)设置；（，）；（）可以同时求得（）和（），其中。

b)设置（）；；（，）可以同时求得（）和（），其中。

4.3稀疏雅可比矩阵

运用上节讨论的方法来求解稀疏雅可比矩阵,具有极高的计算代价。例如，一个含个独立和个依赖参数的子过程，为求解整个雅可比矩阵就需要反复调用次切线性模式，当相当大时，这对许多实际的数值计算问题是不能接受的。事实上，如果雅可比矩阵的任意两列（行）相互正交，那么可以通过适当设置扰动输入值，这两列（行）的元素就可以通过一次引用切线性模式（伴随模式）完全得到。设和分别为雅可比矩阵的行宽度和列宽度，即各行和各列非零元素数目的最大值，显然有，。这里介绍几种常用的求解方法。

正向积分当时，通常采用切线性模式来计算雅可比矩阵。根据雅可比矩阵的稀疏结构，适当选择右乘初始输入矩阵，可以获得接近的计算时间代价。DFT系统采用一种逐列（行）求解的方法，来有效求解右（左）乘初始输入矩阵。其基本思路是：按照某种列次序考察雅可比矩阵的各列；考察当前列中所有非零元素，并对这些非零元素所在行的行向量做类似模二和累加运算（即将非零元素视为逻辑“1”，零元素视为逻辑“0”），从而得到一个描述当前列与各行存在“某种”相关的标志向量（其元素都是“1”或“0”）；依据此标志向量，就很容易得到一个与之正交的列初始向量，其中与当前列序号对应的元素设置为“1”，而与标志向量中非零元素序号对应的元素设置为“0”，与标志向量中非零元素序号对应的元素设置为“-1”，显然，该列初始向量是唯一的，并且对应着当前右乘初始输入矩阵的最后一列；逐一考察已求解得到的列初始向量，如果某列初始向量与当前求解得到的列初始向量按下面定义的乘法（见过程4）正交，那么这两列就可以合并，即将当前列初始向量中非“-1”的元素按照对应关系分别赋值给该初始向量，并从记录中删除当前列初始向量；重复以上过程，继续按照给定列次序考察雅可比矩阵的“下一列”。不难说明，按照不同列次序求解得到的右乘初始输入矩阵可能不同。其中逐列求解右乘初始输入矩阵的过程可以简单叙述为：

1）将右乘初始输入矩阵所有元素的初值均设置为，，。。

2）如果，转6）。否则，如果雅可比矩阵的第列中的所有元素均为，，重复2）的判断。否则转3）。

3）计算标志向量。令，做如下计算：，;

4）设为的列向量。在上定义乘法，对任意的，我们有：a）；b)如果，必有和。然后，做如下计算：,;，6);2);

5）令，并做如下计算：，;令,。如果，转6）；否则，重复2）的判断。

6）对，，如果，则。取的前列，这样，我们就得到了一个维右乘初始输入矩阵。

这里需要说明的是，运用上面的方法求得的右乘初始输入矩阵不仅与求解雅可比矩阵的列序有关，而且与过程4）中的合并顺序也有关系。至于如何最优求解右乘初始输入矩阵，目前还很难讨论清楚。但是，大量模拟试验结果表明，运用上面自然次序求得的右乘初始输入矩阵宽度已经非常接近于其下界值。

反向积分当和时，通常采用伴随模式来计算雅可比矩阵。根据雅可比矩阵的稀疏结构，适当选择左乘初始输入矩阵，可以获得接近的计算时间代价。其中左乘初始输入矩阵的求解过程完全可以按照上面的方法进行，但是在处理前必须先将雅可比矩阵转置，最后还需将得到的初始输入矩阵转置才能最终得到左乘初始输入矩阵。同时，其行宽度也已经非常接近于其下界值。

混合积分如果将切线性模式和伴随模式相结合，往往可以避免梯度向量运算中的诸多冗余计算。例如，ADJIFOR系统在求解雅可比矩阵时，在语句级微分实现中首先用伴随方法求得所有偏导数，然后做梯度向量积分；其计算时间代价与和模式的语句数目有关，而其存储代价为。具体讨论可参考文献[7]。

5．结论

切线性模式在无截断误差意义上计算函数的方向导数、梯度或雅可比矩阵，以及在模式的可预测性及参数敏感性分析、伴随模式构造等相关问题中有着广泛应用。DFT系统主要用于求解FORTRAN77语言编写的切线性模式，具有很强的全局数据相关分析能力。此外，DFT系统还具有其它几个重要特色，如结构化的微分实现、自动生成微分测试程序以及基于语句级的微分代码优化。本文简单给出了DFT系统在求解数值和符号导数和微分、稀疏雅可比矩阵中的应用。为评价一类自动微分系统，本文初步提出了统计准确率的概念。

参考文献

[1]AndreasGriewank.OnAutomaticDifferentiation.InM.IriandK.Tanabe,editors,MathematicalProgramming:

RecentDevelopmentsandApplications.KluwerAcademicPublishers,1989

[2]LeDimet,F.XandO.Talagrand,Variationalalgorithmsforanalysisandassimilationofmeteorological

observations:theoreticalaspects,Tellus,1986,38A,97-110

[3]P.Werbos,Applicationsofadvancesinnonlinearsensitivityanalysis,InsystemsModeling

andOptimization,NewYork,1982,SpringerVerlag,762-777

[4]ChristianBischof,GordonPusch,andRalfKnoesel."SensitivityAnalysisoftheMM5WeatherModelusing

AutomaticDifferentiation,"ComputersinPhysics,0:605-612,1996

[5]MuMu,etal，Thepredictabilityproblemofweatherandclimateprediction,ProgressinNatureScience,accepted.

[6]GieringR.etal.RecipesforAdjointCodeConstruction.ACMTrans.OnMath.Software.1998，24（4）：

437-474.

[7]C.Bischof,A.Carle,P.Khademi,andG.Pusch."AutomaticDifferentiation:ObtainingFastandReliable

Derivatives--Fast"inControlProblemsinIndustry,editedbyI.LasieckaandB.Morton,pages1-16,Birkhauser,

初中数学求最值的方法范文篇9

一、配方法的意义

所谓配方法就是将一个式子或者它的一部分恒等变化为完全平方式或者是几个完全平方式的和。在初中阶段的数学教学中，使用配方法可以快速地将一个二次多项式快速地变化为一个一次多项式的平方和常数的和，然后解出方程。在求解二次方程?r，相较于使用求根公式，使用配方法能够节约大量的时间和计算量。

配方法的基本公式为：a2±2ab+b2=（a+b）2。只要更够熟悉公式及其变形，就更够灵活巧妙地配方，对数学问题进行解答。下面就将结合一些具体的例子来对配方法再实际问题中的应用进行分析。

二、在求代数式值中的应用

代数式的求值是初中的数学教学中经常出现的问题，使用配方上来解决求代数式的值的问题时的思路就说根据公式找出一个满的完全平方式子，然后使它满足一次项和二次项。但是在实际的问题中，经常需要先对式子进行化简然后再运用配方法进行配方，在完成化简并配方之后就能快速地解出代数式的值，因此这是一种十分重要地求代数式值的方法。

例：

在看到题目时，让学生仔细观察，由于未知数的值中含有根号，使用直接带入的方法会使得计算量比较复杂，因此就顺理成章地使用配方法解决。

这个例子是配方法在求代数式求值的问题中比较典型的应用，教师以这个例题开始讲解，培养学生使用配方法的解题思路，在学生掌握以后就能够举一反三，在以后遇到类似问题时就更够快速便捷地解决。

三、在化简二次根式的应用

二次根式的化简是初中数学教学中的一个重点和难点，在进行二次根式的化简的时候，有两个必要的条件：一是被开方数是整数，二是被开方数中不能包含有能够开得尽方的因数或者因式。在使用配方法之前要对式子进行初步的化简，面对同类的二次根式要将几个二次根式合并化简为最简二次根式；在读二次根式进行计算的时候，需要把根号内的二次根式移到根号外再进行计算，但是在根号内出现了多个含有根号的式子和常数时就需要使用配方法来化简，将根号内的多项式用配方法化简为有理的因式，将根号去掉方便计算。

在学生看到此题时，让学生先观察式子的结构，根式中还含有根式，因此需要使用配方进行解题。

在化简这种根式中含有根式比较复杂的二次根式的时候，使用其他办法解题时的计算量对于初中生来说比较大，而且容易出错，但是使用配方法就更够巧妙便捷地解决问题。从这道例题中可以看出来，无论看上去多么复杂，多么难解的二次根式，都可以在第一时间考虑能否使用配方法进行配方然后化简。

四、解一元二次方程

一元二次方程时初中数学的一个比较重要的部分，而几乎所以的一元二次方程都可以使用配方法来解决。

从这道例题可以看出，在解决一元二次方程时，使用配方法比公式法更加地简便，如果学生熟练掌握配方法后就更够快速地解一元二次方程。

初中数学求最值的方法范文篇10

在指纹识别系统中，通常的指纹处理算法都需要对指纹图像进行二值化处理，二值化之后可以对指纹图像进行细化和特征提取等工作。二值化过程需要确定合适的阀值，当相应的灰度值大于该阀值时则把该灰度值设的阀值，当相应的灰度值大于该阀值时对把该灰度值设为255（白），否则设为0（黑）。二值化过程使得指纹图像的纹线变得更加清晰。确定阀值的方法有很多，例如直方图法、迭代法等。对于有两个波峰的指纹图像，直方图法很容易得到合适的阀值，两个波峰的波谷即为阀值。但是对于只有一个波峰或没有波峰的指纹图像，确定合适的阀值很困难。如果使用文中提到的迭代法，不管有多少个波峰，都能很容易找到最优的阀值。迭代法的实现是基于256级灰度图像的直方图，其迭代初值的选择决定了该方法的收敛速度。最后，文中使用大量实验结果证明该迭代法的可行性，以及迭代初值的选择方法。

1直方图法确定阀值

通常指纹图像都是256级灰度图像，因此其直方图就是分别计算图像灰度从0-255的像素个数并用图表示出来，如图1所示。图1左图为指纹图像原因，右图为直方图。通过直方图法确定图像的阀值很简单。图1所示的指纹图像有两个波峰，波峰之间的波谷即是该指纹图像的阀值。

通过直方图法确定阀值必须保证指纹图像有两个波峰，而对于如图2所示的指纹图像，该方法就无能为力了。图2所示的图像吸有一个明显的波峰，没有所谓的波谷，因此很难找到一个合适的阀值。

2迭代法确定阀值

迭代法求指纹图像的阀值也离不开图像的直方图。下面将给出其计算公式。一般情况下指纹图像的灰度值使用256级，也就是说灰度值从0-255变化。设Si表示指纹图像内灰度从0-255的像素点数目，i=0-255；Ti表示阀值，则如下公式：

若指定一个极小值ε，有：

|Ti+1-Ti|

则Ti+1即为最后的迭代结果，否则令Ti=Ti+1重新执行上面的计算过程，直到满足（6）式的条件。上述的迭代法用计算机实现很简单，只需按上面的公式列式计算即可。

与直方图法相比，迭代法的计算量会大一些，但是它会找到任意指纹图像的最优阀值。

3实验结果

本文按照上面的迭代法对不同的指纹图像进行迭代计算，求出其最优阀值，如图3、图4、图5、图6所示。这些指纹图像中前面三个是用光学传感器采集的，后面一个是用电容传感器的采集的，大小不完全一样。首先给出每一帧指纹图像的直方图，然后列表给出了它们的最优阀值，以及它们在不同初值下的迭代次数。

对上述四幅指纹图像按文中提到的迭代方法进行迭代计算，最后得到的阀值如表1所示，它们在不同迭代初值下的迭代次数如表2所示。

表1指纹图像的最优阀值

初中数学求最值的方法范文1篇11

Abstract：Theapplicationofpoissonintegralinthewaveequationisintroducedandproveddetailedlybysimpleintroductionofpoissonintegralandwaveequationandbyprocessingoftwo-dimensionalsionalandthree-dimensionalwaveequation.Intheintroductionofapplication,wemainlyusedsomeoftypicalexamplestodiscusstheapplicationofpoissonintegralinthewaveequationbylinkingtheorywithpractice.

关键词：泊松积分；波动方程；初值问题；调和函数

Keywords：poissonpoints；WaveEquation；InitialValueProblems；HarmonicFunction

中图分类号：G31文献标识码：A文章编号：1006-4311（2011）11-0220-03

0引言

自17世纪，牛顿，莱布尼兹发明微积分后，科学家在利用微积分处理力学，物理学中各种问题的过程中导出大量的微分方程。在这些微分方程中，有些是常微分方程，比如力学中质点的运动方程m=f，但更多的是偏微分方程。欧拉，拉格朗日等科学家在研究流体力学，声音传播和膜振动等问题时，拉普拉斯在研究势函数和潮汐理论时，傅立叶在研究传导以及麦克斯韦在研究电磁理论时都导出一些偏微分方程，近代量子力学中出现的波动方程也是偏微分方程。我们把物理研究中出现的偏微分方程称为数学物理方程。

本文我们只涉及到两种最常见的偏微分方程―泊送方程和波动方程。19世纪最大的分析家之一，第一流的物理学家S.Poisson吸取Fourier的方法，他不仅从事热的理论研究，而且是弹位数学理论的奠基人之一，他最现将引力位势理论引入静电磁学。Poisson甚至相信所有的偏微分方程都可以用级数展开来求解，从1815年起，Poisson按照三角级数Logendre多项式，laplace曲面调和函数展开式求解了许多热传导问题所提出的泊松积分在三大典型的数学物理方程中就有很广泛的应用，在接下来的文章中我们主要探讨一下泊松积分在波动方程中的应用。

1基础知识

1.1泊松方程与泊松积分的简介

1.1.1泊松方程的定义方程-u=f（x，y，z）与方程u=0分别称为泊松方程和调和方程（或拉普拉斯方程），其中u=++，符号=++称为拉普拉斯算子。

特别的，当我们把这些偏微分方程与实际生活中的物理知识联系起来时，三维的泊松方程式非常常见的。如果经过相当长的时间后，区域G内各点的温度随时间的改变所发生的变化已不显著，在数学上可近似看做ut=0（即温度函数u与时间t无关，仅为x，y，z的函数）。这时，我们说温度分布趋于定常，方程可写为

u+u+u=0（1）

方程（1）通常称为三维拉普拉斯方程（laplace方程）。在有热源（与时间无关）而且温度分布定常的情况下，方程可写为

u+u+u+f（x，y，z）=0（2）

它也可以写成

u+u+u=f（x，y，z）

其中

f（x，y，z）=-（x，y，z）=-，F（x，y，z），

是热源强度，通常称方程（2）为三维泊松方程（Poisson方程）。三维的拉普拉斯方程经常写作u=0，这个方程我们刚刚也提到过。类似地我们也可以写出二维的拉普拉斯方程：u+u=0和二维的泊松方程：u+u=f（x，y）。至此，我们就结合物理知识导出了一类典型的数学物理方程。由于拉普拉斯方程和泊松方程的关系密切，在一定的程度上可以相互转化，所以在这里我们同时把这两个方程拿出来对比着介绍一下，一是便于记忆，二是为下面泊松积分在波动方程中的应用的叙述奠定基础。

1.1.2泊松积分的定义及其相关定理在介绍泊松积分的基本知识时，我们主要给出一个基本定理，这个基本定理掌握了，泊松积分也就随之理解了。

定理1：设B是以A为中心，R为半径的球，B是它的边界，f（p）在B连续，则泊松积分：u（P）=f（P）H（P，P）d，

其中H（P，P）=，

是问题：u=0，（在B内）u=f，（在B上）的解。

这个定理说明了当边值上的函数值f满足一定的条件时，我们所得出的球，半空间等区域上的泊松积分，就是相应的调和方程第一边值问题上的解。我们在这里只是对球的泊松积分，说明了定理的正确性，当然我们也可以验证其他区域上的泊松积分也是一些方程在某些问题的解，在接下来的例题中，我们会对它进行详细的证明，并给出了一些实用的解题方法。

1.2波动方程的简介

1.2.1波动方程的定义

（1）形如=a的方程，就是弦的自由振动方程，通常称为弦振动方程或一维波动方程。而在弦受外力作用，即=a+f（x，t），称为弦的强迫振动方程，非齐次弦振动方程或一维非齐次波动方程。

（2）形如=a++f（x，y，t）（其中a为常数，f（x，y，t）是与外界有关的已知函数），这样的方程就称为膜的强迫振动方程。特别的，当f=0时，则得=a+，称为膜的自由振动方程或二维齐次波动方程。

1.2.2波动方程的初值问题

波动方程的初值问题要讨论的主要是它的求解的过程与方法。对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法也是不同的。我们对波动方程的初值问题的求解方法简单总结如下：①无界弦自由振动的初值问题，可以用达朗贝尔方法求解，带入达朗贝尔公式直接求解即可。②三维齐次波动方程的初值问题，用求平均法求解，得到解的表达式即泊松公式，然后将泊松公式带入求解即可。③二维齐次波动方程的初值问题，可以用降维法，先降维再带入泊松公式求解即可。

当然，波动方程初值问题的求解方法远不止这些，在这里我只是把几个比较简单的常用的并且在我们需要讨论的泊松积分在波动方程中的应用涉及到的方法列举出来了。

2泊松积分在波动方程中的应用

在泊松积分在波动方程中的应用这部分，我们主要分两部分内容进行讨论，一是泊松积分在波动方程中的形式及其推广，二是通过几个具体的例题演示一下泊松积分在波动方程中的应用。

2.1波动方程中的形式及其推广

一维弦振动方程的初值问题

u-au=f（x，t），x∈R′，T>0，U（x，0）=φ（x），u（x，0）=φ（x），x∈R′，

的求解公式是

u（x，t）=[φ（x+at）+φ（x-at）]+φ（ξ）dξ+

f（ξ，r）dξdτ

当f0时，该公式就是一维齐次弦振动方程d′Alembert的公式。

三维波动方程的初值问题

u-au=f（x，t），x∈R，t>0，u（x，0）=φ（x），u（x，0）=φ（x），x∈R，

的求解公式是

u（x，t）=ds+ds+dv

利用球坐标，该公式又可以写成

u（x，t）=tφ（x+atsinθcosφ，x+atcosθ）sinθdθdφ

+tφ（x+atsinθcosφ，x+atcosθ，x+atcosθ）sinθdθdφ

+fx+rsinθcosφ，x+rsinθsinφ，x+rcosθ，t-rsinθdθdφdr

当f0时，称该解公式为齐次方程的Poisson公式或Kirchhoff公式。

2.2例题

例1：求解下列初值问题

u-a（u+u+u=0），（x，x，x）∈R，t>0，u=x+xx，u=0，（x，x，x）∈R，

解：直接代入三维波动方程的Poisson公式的球坐标形式得

u（x，t）=t[（x+atsinθcosφ）+（x+atsinθsinφ）

（x+atcosθ）]sinθdθdφ

=[t（4πx+4πatx+4πxx+43πatx）]

=x+3atx+xx+atx

所以该初值问题的解为

u（x，t）=x+3atx+xx+atx。

例2：求二维波动方程的初值问题：

u-a（u+u）=0，u=φ（r），u=ψ（Γ），r=，

的轴对称解u=u（r，t）。

解：二维波动方程的Poisson公式的极坐标形式为

u（x，x，t）=ρdθdρ

+ρdθdρ。

当解为轴对称时，

u（x1，x2，t）=u（r，t），

于是u（r，t）=ρdθdρ+ρdθdρ

=ρdθdρ+ρdθdρ

综上，所求的u（x，t）就是我们所要求的二维波动方程的初值问题下的解。

例3：求解下列初值问题：

u-a（u+u）=cu，（x，x）∈R，t>0，u=φ（x，x），u=ψ（x，x），（x，x）∈R，

其中c为常数。

解：令v（x1，x2，x3，t）=eu（x1，x2，t），则v满足定解问题：

v-a（v+v+v）=0，（x，x，x）∈R，t>0，veφ（x，x），v=eψ（x，x），（x，x，x）∈R，

由三维波动方程的泊松公式得：

v（x，x，x，t）=te×φ（x+atsinθcos，x+atsinθsin）sinθdθd+te×ψ（x+atsinθcos，x+atsinθsin）sinθdθd。

因此，

u（x，x，t）=ev（x1，x2，x3，t）

=teφ（x+atsinθcos，x+atsinθsin）sinθdθd

+teψ（x+atsinθcos，x+atsinθsin）sinθdθd。

例4：设Ω是正方形x1，x1，u（x，t）是初值问题

u-4u=0，x∈R，t>0，u（x，0）=φ（x），u（x，0）=ψ（x），x∈R，

的解，其中

φ（x），ψ（x）=0，x∈Ω，t>0，>0，x∈R，

试指出当t>0时，u（x，t）0的区域。

解：直接利用二维齐次方程初值问题的Poisson公式可以看出，当t时，在正方形区域x1-2t，x1-2t内u（x，t）0;当t>时u（x，t）>0，在R上成立。

例5：证明电报方程的初值问题

u=au-aλu，x∈R′，t>0，u（x，0）=0，u（x，0）=ψ（x），x∈R′，

的解是

u（x，t）=J（λ，δ）ψ（ξ）dξ，

其中s=，J是由下式定义的零阶Bessel函数：

J（ξ）=cos（zsinθ）dθ。

证明：令v（x，y，t）=u（x，t）cosλy，则v满足初值问题

v=a（v+v），（x，y）∈R，t>0，v（x，y，0）=0，v（x，y，0）=ψ（x）cosλy，（x，y）∈R，

有二维波动方程的Poisson公式得

v（x，y，t）=dy

=ψ（ξ）dξdy，

这里，∑是ξ-η平面上以p（x，y）为圆心，以at为半径的圆面。做变换

η-y=sinθ，

则有

dη

=cosλy+λsinθdθ

=2cosλycosλsinθdθ

=πJ（λs）cosλy。

于是v（x，y，t）J（λs）ρ（ξ）dξ，

这样就得到原问题的解为u（x，t）=J（λs）ρ（ξ）dξ。

我们从而就证明了电报方程的初值问题：

u=au-aλu，x∈R′，t>0，u（x，0）=0，u（x，0）=ψ（x），x∈R′，

的解是u（x，t）=J（λ，δ）ψ（ξ）dξ。

通过以上几个例题，我们对于泊松积分在波动方程中的应用有了更深的理解，并且我们理论联系实际给出了证明，使其印象更加深刻。

3小结

从本文可以看出，作为数学物理方程学科中的重要的两种方程――泊松方程和波动方程在我们生活中有着重要的作用，他们相互间也有着密切的联系，并不是我们想象中的难以理解，而且还有一定的规律可循，只要我们对其认真地研究，对培养数学物理方程思维能力和数学物理方程思想方法将有很大的帮助，同时也可以从这一课题的研究中学习到许多积分计算的技巧。泊松积分的应用非常广泛，不仅在波动方程中，而且在普通物理、遥感技术、生物医学、军事技术都有极其重要的作用，在物理方面的贡献尤为突出，因此，对泊松积分在波动方程中的应用的研究是很有意义的。

参考文献：

[1]张渭滨编著.数学物理方程[M].北京：清华大学出版社，2007，8.

[2]张慧清，吴小吟，杨小军编著.数学物理方程与特殊函数[M].西北工业大学出版社，2005，8.

[3]陈才生主编.数学物理方程[M].南京：东南大学出版社，2006，8.

[4]庄万，萧礼，洪良辰，刘中元编著.数学物理方程[M].济南：山东科学技术出版社，2005，11．

[5]刘经红，朱起定.Poisson积分方程的解的存在唯一性.湖南大学学报，2004，1：9-12.

初中数学求最值的方法范文1篇12

关键词：转换模型系统辨识人工神经网络BP算法MATLAB仿真

中图分类号：TP183文献标识码：A文章编号：1007-9416（2013）05-0079-03

在实际工况中通常依据管线表面热流值对比国家标准来判断管线的保温性能是否达到标准。而在实际测量中发现现场因素（如环境温度、风速）对测得的管线表面热流值影响比较大，整个测试的结果受外界干扰，国家标准给出的评定依据为标准条件（环境温度一定、风速较小）下的值，不能直接用于衡量现场测量值。所以项目要求对现场采集的数据进行处理，得到标准条件下的数据，之后就可以用国家标准进行衡量了。从现场实测数据到标准条件下的数据转换基于一个系统模型即实测管线表面温度值和标准条件下热流值之间的转换模型。

项目要求通过系统辨识得到一个精确反映管线表面温度值和热流值的去噪滤波模型，以便基于此模型对实际条件下测得的温度值和热流值进行标准化转换和预测。要求能达到以下的技术性能与指标参数：用人工神经网络建立管线表面温度到标准条件下热流值的转换模型。该模型实现根据现场环境温度、环境风速以及被测对象的表面温度值和热流值较为精确的预测得出实验室条件下的标准值，估计出相应标准条件下的热流值，预测精度达到数量级为10-2。

1系统建模基础

1.1神经网络建模基础

在本项目中，建立管线表面温度值和热流值的标准化转换模型是研究的核心问题。该系统模型主要用来排除外界环境因素对热流值等测试结果的影响。此系统要求通过若干组在实际工况下测得的环境温度、风速、被测对象的表面温度以及与之对应的实验室条件下（标准环境温度与风速）的热流值，得到转换模型。从而实现输入实际工况下的环境温度，风速以及被测对象的表面温度值，准确估计出标准条件下（环境温度、风速）的热流值。

根据项目总体要求，系统需要进行辨识，得到一个精确反映管线表面温度值和热流值的去噪滤波模型，以便基于此模型对实际条件下测得的温度值和热流值进行标准化转换和预测。对于本项目，由于很难找出实际测量值与实验室标准值之间的精确解析关系，所以基于温度转换的内部机理，建立温度转换的解析模型是不可能的。应用所测得输入输出样本数据对进行数值建模分析，建立满足一定精度的温度标准化转换数值模型是解决此问题的一个出路，以下研究基于人工神经网络BP算法的管线表面温度值和热流值的标准化转换模型。

1.2建模方法选择

在实际的使用中建立的模型要反映的是一个复杂的系统，系统间的参数传递关系复杂，用一般的数学建模方法难以正确预测系统输出。在这种情况下可以用BP网络来仿真表达这个系统。该方法把系统看成是一个黑箱，先取出若干组输入输出数据对BP网络进行有效学习，然后就可以用BP网络来表达这个系统。在得到系统输入参数后就可以用网络来预测系统的输出值。

2神经网络系统构建

2.1问题的提出

根据实验测得的数据，通过神经网络拟合，找到管线表面温度与热流值之间的转换模型。在今后的使用中，就可以利用这个模型通过现场测得的管线表面温度估计出此时管道的热流值，进而判断管道保温材质保温性能的优劣。

BP网路的一个重要功能就是非线性映射的能力，这一功能非常适合与函数逼近，也就是说，找出两组数据之间的关系。在研究的内容中，这是要找出管线表面温度和热流值之间的对应关系，所以建立一个BP网络，找出两者之间的关系。

2.2网络建立

训练前馈网络的第一步是建立网络对象。函数newff建立一个可训练的前馈网络。这需要4个输入参数。第一个参数是一个Rx2的矩阵以定义R个输入向量的最小值和最大值。第二个参数是一个每层神经元个数的数组。第三个参数是包含每层用到的转移函数名称的细胞数组。最后一个参数是用到的训练函数的名称。

net=newff（minmax（p），[5，1]，{'tansig'，'purelin'}）；

可见，网络的中间层有5个神经元，传递函数为tansig（）；输出层有1个神经元，传递函数为purelin（）。BP网络中间层神经元的数目对网络性能有着比较大的影响，需要通过不断地尝试才能确定。由于没有特别设定训练函数，因此训练函数取默认值trainlm（）。

图1中的蓝色曲线是原始数据的曲线分布，红色点划线是未经过训练的拟合曲线，两条曲线的拟合程度比较差，基本上没有拟合到一起的点。由此可见，在训练之前，网络的非线性映射能力是很差的。

2.3权值初始化

在训练前馈网络之前，权重和偏置必须被初始化。初始化权重和偏置的工作用命令init来实现。这个函数接收网络对象并初始化权重和偏置后返回网络对象。下面就是网络如何初始化的：

net=init（net）；

可以通过设定网络参数net.initFcn和net.layer{i}.initFcn这一技巧来初始化一个给定的网络。net.initFcn用来决定整个网络的初始化函数。前馈网络的缺省值为initlay，它允许每一层用单独的初始化函数。设定了net.initFcn，那么参数net.layer{i}.initFcn也要设定用来决定每一层的初始化函数。

对前馈网络来说，有两种不同的初始化方式经常被用到：initwb和initnw。

（1）initwb函数根据每一层自己的初始化参数（net.inputWeights{i，j}.initFcn）初始化权重矩阵和偏置。前馈网络的初始化权重通常设为rands，它使权重在-1到1之间随机取值。这种方式经常用在转换函数是线性函数时。

（2）initnw通常用于转换函数是曲线函数。它根据Nguyen和Widrow[NgWi90]为层产生初始权重和偏置值，使得每层神经元的活动区域能大致平坦的分布在输入空间。它比起单纯的给权重和偏置随机赋值有以下优点：减少神经元的浪费（因为所有神经元的活动区域都在输入空间内）；有更快的训练速度（因为输入空间的每个区域都在活动的神经元范围中）。

初始化函数被newff所调用。因此当网络创建时，它根据缺省的参数自动初始化。init不需要单独的调用。可是可能要重新初始化权重和偏置或者进行自定义的初始化。例如，用newff创建的网络，它缺省用initnw来初始化第一层。如果想要用rands重新初始化第一层的权重和偏置，用以下命令：

2.4网络训练与仿真

一旦网络加权和偏差被初始化，网络就可以开始训练了。能够训练网络来做函数近似、模式结合、模式分类。训练处理需要一套适当的网络操作的数据即网络输入p和目标输出t。在训练期间网络的加权和偏差不断的把网络性能函数net.performFcn减少到最小。前馈网络的缺省性能函数是均方误差mse--网络输出和目标输出t之间的均方误差。

用样本数据训练BP神经网络，使网络对非线性函数输出具有预测能力。

%网络参数配置（迭代次数，学习率，目标）

图2中红色点划线表示对训练后的网络进行仿真得到的输出，经过训练后，系统模型基本上拟合了原始数据，但在某些位置还是存在一些拟合不到位的现象，后面会针对这种情况改进网络已达到更好的拟合效果，网络的预测误差曲线如图3所示。

误差值基本出现在（-4，9）区间内，差值约为13，样本数据的输出范围在900左右，计算误差区间在整个输出范围之间的辨识精度大约为0.014，达到了项目总体要求中提出的辨识精度为10-2的数量级，可见系统辨识输出误差在允许的范围之内的。

3结语

本文中建立的系统模型完成了实测数据到标准条件数据的转换。这种基于人工神经网络BP算法的管线表面温度值和热流值的标准化转换模型完成了对于现场数据的处理。从仿真效果和误差分布可以看出模型的处理精度等级也达到了项目的预期的技术要求，只是曲线拟合有所欠缺。这些问题可以通过进一步更改网络层数等方法进行改进，以便能够得到更好的仿真效果。

参考文献

[1]刘艳，任章.基于神经网络的混合模型建模方法及应用[J].计算机仿真，2007，24（2）：45-48.

[2]匡胤.基于人工神经网络的预测原理及MATLAB实现[J].内江师范学院学报，2007，22（2）：38-40.

[3]黄大荣，宋军，汪达成，曹建秋，李伟.基于ARMA和小波变换的交通流预测模型研究[J].计算机工程与应用，2006，42（36）：191-194.

[4]宋宜斌，王培进.一种基于RBF神经网络的预测器模型及其研究[J].计算机工程与应用，2004，40（6）：105-107.

[5]HuntKJ，StarbaroD.neuralNetworksforNonlinearInternalModelControl[J].IEEProceedingsD，1991，138（5）：431-4381.

[6]吴广玉.系统辨识与自适应[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1987.

[7]张成乾，张国强.系统辨识与参数估计[M].北京：机械工业出版社，1986.

[8]强明辉，张京娥.基于MATLAB的递推最小二乘法辨识与仿真[J].自动化与仪器仪表，2008，（6）：4-5，39.

[9]金朝红，吴汉松.一种改进的BP算法及其Matlab仿真[J].计算机仿真，2005（Z1）：105-106.

[10]王青海.BP神经网络算法的一种改进[J].青海大学学报（自然科学）