抛物线的基本知识点(精选8篇)
抛物线的基本知识点篇1
抛物线的性质：
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
焦半径：
焦半径：抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Fèçæø÷ö
p2，0的距离|PF|=x0+p2.
求抛物线方程的方法：
(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p的值，得到抛物线的标准方程.
(2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式.从简单化角度出发，焦点在x轴的，设为y2=ax(a≠0)，焦点在y轴的，设为x2=by(b≠0).
练习题：
设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A∈C,已知以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点.∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程。
【解析】因为以F为圆心,FA为半径的圆交l于B,D两点,
所以△BFD为等腰直角三角形,故斜边|BD|=2p,
又点A到准线l的距离d=|FA|=|FB|=p,
所以S△ABD=4=|BD|×d=×2p×p,
所以p=2.
所以圆F的圆心为(0,1),半径r=|FA|=2,
圆F的方程为x2+(y-1)2=8.
抛物线的基本知识点篇2
1.抛物线定义：
平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同，当e=1时为抛物线，当0
2.抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质(如下表)：其中为抛物线上任一点。
3.对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。
4.抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有解。
说明：
1.求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2.凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的.斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。
3.解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
抛物线的焦点弦的性质：
关于抛物线的几个重要结论：
(1)弦长公式同椭圆.
(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部
(3)抛物线y2=2px上的点P(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p>,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+
(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是
(5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则
(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F,又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F.
利用抛物线的几何性质解题的方法：
根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明.
抛物线中定点问题的解决方法：
在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。
利用焦点弦求值：
利用抛物线及焦半径的定义，结合焦点弦的表示，进行有关的计算或求值。
抛物线中的几何证明方法：
利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型，证明时注意利用好图形，并做好转化代换。
抛物线的基本知识点篇3
抛物线的焦点弦的性质：
关于抛物线的几个重要结论：
(1)弦长公式同椭圆．
(2)对于抛物线y2=2px(p>0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部
P(x0，y0)在抛物线外部
(3)抛物线y2=2px上的点P（x1，y1）的切线方程是
抛物线y2=2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y=kx+
(4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是
(5)过抛物线y2=2px上两点
的两条切线交于点M(x0，y0)，则
(6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F,
又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F．
利用抛物线的几何性质解题的方法：
根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明．
抛物线中定点问题的解决方法：
在高考中一般以填空题或选择题的`形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方法。
利用焦点弦求值：
利用抛物线及焦半径的定义，结合焦点弦的表示，进行有关的计算或求值。
总之，抛物线是一种重要的图像，具有广泛的应用。因此，掌握抛物线的基本知识点对于学生和专业人士来说都是非常重要的。有想要了解更多内容的朋友们，欢迎关注本站，随时更新内容。
抛物线的基本知识点篇4
1.抛物线及其性质的基本思路
求抛物线方程时,若由已知条件可知方程的形式,一般用待定系数法;若由已知条件可知动点的运动规律,一般用轨迹法;凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意运用韦达定理;解决焦点弦问题,抛物线的定义有广泛的应用,还应注意焦点弦的几何性质,针对y2=2px(p>0),设焦点弦为x=my+■,既方便消元,又可避免斜率不存在的情况;可能的情况下,注意平面几何知识的应用,达到“不算而解”的目的.
2.抛物线及其性质的基本策略
(1)求抛物线的标准方程
①定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的值,得到抛物线的标准方程.
②待定系数法:先定位,后定量.根据条件设出标准方程,再确定参数p的值,这里要注意抛物线标准方程有四种形式,从简单化角度出发,焦点在x轴上,设为y2=ax(a≠0);焦点在y轴上,设为x2=by(b≠0).
(2)焦点弦问题和焦半径
①焦半径:抛物线y2=2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F■,0的距离PF=x0+■.
②通径:过焦点F■,0且与x轴垂直的弦PQ叫通径,PQ=2p.
③焦点弦的性质:过F■,0的弦AB所在的直线方程为y=kx-■(k不存在时为通径).
④弦长:AB=x1+x2+p=■(θ为弦AB的倾斜角);x1·x2=■,y1·y2=-p2;■+■=■;以弦AB为直径的圆与准线相切.
在抛物线y2=4x上找一点M,使MA+MF最小,其中A(3,2),F(1,0),求点M的坐标及此时的最小值.
思索“看准线想焦点,看焦点想准线”,可根据抛物线的定义进行相互转化从而获得简捷、直观的求解.数形结合是灵活解题的一条捷径.
破解如图1,点A在抛物线y2=4x的内部,由抛物线的定义可知,MA+MF=MA+MH,其中MH为M到抛物线的准线的距离,过A作抛物线准线的垂线交抛物线于M1,垂足为B,则MA+MF=MA+MH≥AB=4,当且仅当点M在M1的位置时等号成立,此时点M1的坐标为(1,2).
斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
思索求焦点弦的弦长有多种方法,既要掌握运算方法,也要考虑一些不算或少算的方法.数形结合是解析几何中重要的思想方法之一.一些问题中,充分发挥“形”的作用,可以最大限度地减少运算,“看出结果”.我们不妨考虑问题的一般情形:斜率为k(倾斜角为θ)的直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,如何“看出”焦点弦的弦长?
如图2,由图可以看出,FA=p-FAcosθ,FB=FBcosθ+p,所以AB=FA+FB=■+■=■.求解过程非常直观,在已知直线倾斜角的情形下,可以直接“看出”焦点弦的弦长.直线斜率存在时,由k=tanθ,
破解例2中,k=1(θ=45°),p=2,所以AB=8.
在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为■.
(1)求抛物线C的方程;
(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
思索(1)由抛物线C的标准形式可得点F的坐标和准线方程,由圆心Q在弦OF的中垂线上可得点Q的纵坐标,再由点Q到抛物线C的准线的距离列出方程,确定p的值.
(2)存在性问题的常用方法是:先假设结论存在,进行演绎推理,若推出矛盾,则否定假设;若推出合理的结果,说明假设成立.
思路1:先求切线MQ的方程,结合弦OF的中垂线方程解点Q的坐标,再由点Q在弦OM的中垂线上解题即可.
思路2:先由点Q在弦OF,OM的中垂线上,再结合切线QM斜率的不同形式表示,列出方程思考.
1.立足课本,夯实基础
掌握抛物线的定义、标准方程、简单性质等基础知识,深化对基础知识的理解,重视知识间的内在联系,提高应用数学思想方法解决问题的意识和能力.
2.熟练通法,步步过关
对相对固定的题型,如弦长问题、面积问题等,解题思路、步骤相对固定,要以课本为例,以习题为模型,淡化技巧,理解通性通法,熟练步骤,能作出合理的算法途径设计,基本问题运算过关,破解“想得出,算不出、算不对”的瓶颈.
3.重视抛物线的综合问题
重视抛物线与直线、圆等的综合研究,尤其是对性质中的一些定点、定值及相关结论的深入探究.高考试题往往有对圆锥曲线某方面几何性质的考虑,对性质深入的探究不在于知道一些结论,而是在这一过程中掌握探索的方法,理解解析几何的基本思想方法.
抛物线的基本知识点篇5
二次函数的知识点主要是它的图象与性质。
二次函数的图象为抛物线，它是一个轴对称图形。主要是记住抛物线的顶点坐标，对称轴，以及抛物线的增减性，且图象增减性与抛物线对称轴有较大关系。
二次函数二次项系数（a）的正负值决定了其图象开口方向，而开口方向又决定了抛物线顶点是在图象最高点还是最低点。a>0时图象开口向上，顶点在最低点；a<0时图象开口向下，顶点在最高点。抛物线的对称轴经过顶点，它是一条“x=顶点横坐标”的直线，对称轴与y轴平行。若a>0，则在对称轴的左侧图象上的对应点的y值（纵坐标）随x值（横坐标）的增大而减小，在对称轴右侧图象上的对应点的y值随x值的增大而增大；反之，当a<0时，抛物线图象增减性在对称轴两侧刚好与a<0时的情况相反。
抛物线的基本知识点篇6
教学目标
1.抛物线的定义
2.抛物线的四种标准方程形式及其对应焦点和准线
教学重难点
教学重点：1.抛物线的定义和焦点与准线
2.抛物线的四种标准形式，以及p的意义。
教学难点：抛物线的四种图形，标准方程的推导及其焦点坐标和准线方程。
教学过程
一、知识回顾：
二次函数中抛物线的图象特征是什么?(平行于y轴，开口向上或者向下)
如果抛物线不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了，今天我们来突破研究中的限制，从一般意义上来研究抛物线。
二、课堂新授：
(讲解抛物线的作图方法)
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。
如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段
KF的中点重合。
结合表格完成下列例题：
1.已知抛物线的标准方程是y2=6x,求它的焦点坐标和准线方程。
2.已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2),求它的标准方程。
解：1.∵抛物线的方程是y2=6x,
∴p=3
∴焦点坐标是(，0)，
准线方程是x=-
2.∵焦点在y轴的负半轴上，且，
∴p=4
∴所求的抛物线标准方程是x2=-8y。
三、随堂练习：
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
四、课堂小结：
由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数p，因此只要给出确定的p的一个条件就可以求出抛物线的标准方称。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就可以唯一的确定下来。
五、课后作业：P119习题8.52、4
[高中数学抛物线课件]
抛物线的基本知识点篇7
抛物线知识点总结
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。
=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
=b^2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-bb^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)
抛物线
y=ax^2+bx+c(a≠0)
就是y等于a乘以x的平方加上b乘以x再加上c
置于平面直角坐标系中
a>0时开口向上
a<0时开口向下
(a=0时为一元一次函数)
c>0时函数图像与y轴正方向相交
c<0时函数图像与y轴负方向相交
c=0时抛物线经过原点
b=0时抛物线对称轴为y轴
(当然a=0且b≠0时该函数为一次函数)
还有顶点公式y=a(x+h)*2+k,(h,k)=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))
就是y等于a乘以(x+h)的平方+k
-h是顶点坐标的x
k是顶点坐标的y
一般用于求最大值与最小值和对称轴
抛物线标准方程：y^2=2px(p>0)
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)准线方程为x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2pxy^2=-2pxx^2=2pyx^2=-2py
抛物线的基本知识点篇8
抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)；抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。
抛物线定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a\u003e0时，抛物线向上开口；当a0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab\u003c0)，对称轴在y轴右。常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0，c)。