从线上到线下的教学方法(6篇)
从线上到线下的教学方法篇1
关键词：形体分析法线面分析法点线面投影基本几何体投影教学方法
补视图、补缺线对于每一个学过《机械制图》这门课的人来讲，都会留下这一记忆。要完成补视图、补缺线就涉及到两种看图方法，即形体分析法和线面分析法。本文就这两种方法的基础在哪里及如何进行有效的教学方法，谈谈我个人的观点和做法，与同行探讨。
形体分析法和线面分析法在识图中的功能，好比一个人走路需要两条腿一样重要。
形体分析法即把比较复杂的视图，按线框分成几个部分，运用三视图的投影规律，先分别想象出各组成部分的形状和位置，再综合起来想象出整体的结构形状。形体分析法的特点是按若干“线框”来分别想象各自的形状和位置，而这部分的内容、想象方法和画图方法在基本几何体投影这一节中已完成，所以我认为形体分析法的基础就在基本几何体投影这一节，这一节内容有效透彻地教与学是老师备课的重中之重，是入门的基础之一。
线面分析法即运用点线面的投影规律，分析视图中若干线条、线框的含义和空间位置，从而把视图看懂。线面分析法的特点是将视图中的“线条”、“线框”想象出空间不同位置的线或面，而这部分的内容、想象方法和画图方法在点线面投影三节中已完成，所以我认为线面分析法的基础在点线面投影三节，这三节内容有效透彻地教与学同样是老师备课的重中之重，是入门的基础之二。
请问制图老师，在你教这四节内容时，首先是对这部分内容是如何认识的？有没有前后联系思考？其次是如何组织教学的？下面重点谈谈我的认识和教学方法。
一、线面分析法的基础――点线面投影
首先我要批评一种不正确或者说不负责任的观点，即点线面投影对识图作用不大，可以从教材中删除。改革教学的激进者已在教学中随意地略过这部分内容，试问：当你分析视图中的线面含义时，是否成了无源之水？
第二，关于点的投影。
点的投影是制图识图、画图的精髓，是重要的基础教学，对它的内容掌握关系到后面体上求点、截交线、相贯线和相切等正确理解和作图。为此，我在教学上除了常规的介绍点的标记等内容外，我着重以下三步教学：
第一步，引入直观图――轴测图的教学。
轴测图在教材中通常编排在后面，为了让学生能将想象的空间形状、位置能直观地表达出来，提高他的学习兴趣，因此，我将轴测图内容提前教给学生，让学生能掌握、应用轴测图画图的规则和方法，让学生能养成边想边画，手脑并用的良好习惯，使学习识图成为一种有趣的、有形的活动，而不是枯燥的脑力劳动。
第二步，给出画点投影的步骤，突出直观性教学法。
已知点的坐标，画点投影的步骤如下：
点坐标试放其空间位置（画出直观图）直观判断其三面投影位置两个坐标确定一点画三面投影点。
从学习点开始就要让学生养成根据题目条件，在过程中完成学习的习惯，特别要建立先有空间直观位置，再利用投影原理直观判断答案如何，最后才将答案实施完成。一开始就要让学生掌握学习制图识图、画图的方法、理念，而不是没有方法的教与学。
第三步，给出点投影辨认的步骤，引导学生建立想象的方法。
点投影辨认即要求学生能从平面想象到空间，是学习识图最关键的一步，书本上一般没有突出这一步的教学，但在学生实际做练习的时候，这是他能做题的第一步，为此，引入已知点两面投影的辨认方法，步骤如下：
已知点两面投影点坐标试放其空间位置（画出直观图）。
要求学生在做练习时，一定要“先试放其空间位置（画出直观图）再直观判断其三面视图（答案）最后画图”，这是学习制图识图、画图的基本原则（过程）。
第三，关于线、面投影。
学习线、面投影是点投影的延续、巩固和提升，为基本几何体学习打好基础，为截割类形体的线、面分析做好铺垫。教学中首先要让学生记住线、面各七个名称及对应的空间位置，然后参照点的投影给出画线、面投影的步骤及线、面投影辨认的步骤，两步合并即为做练习的步骤，具体为“已知条件试放其空间位置直观判断其三面投影回答问题或画图（以点的投影为基础）”。
二、形体分析法基础――基本几何体投影
点线面投影着眼于微观、局部，而基本几何体就着眼于宏观、整体，将更多的信息呈现在学生面前，是让学生从简单空间到复杂空间的过渡期，是学生全方位、立体思考的适应期。在这期间，如果学生能将各种信息轻松捕获、理解，并能正确处理，说明学生已掌握制图识图、画图的方法，因此基本几何体投影这一节是承前启后的作用，这一节的学习方法掌握了，后面到补视图、补缺线都是复习、巩固和提高，原理上讲已无新的知识。
基本几何体投影这一节我的教学重点分为两步。
第一步，记形状，明位置。
在直观地给出一个个基本几何体时，要求学生整体记住其空间形状及相关的线、面，通过强记来提高大脑中的空间概念，增强对空间信息的理解、处理能力。在画三面视图时，要求学生明确几何体与三投影面的相对位置，同一形体，不同的摆放位置，其视图是不一样的，让学生不要产生通过死记硬背视图的方法来学习识图、画图。
第二步，给出立体表面求点投影的方法步骤。
如何使学生对这节内容更好地掌握、理解和提升？通过做立体表面求点投影的练习就能使学生做好学习识图、画图的过渡期、适应期，让学生在“宏观微观”、“整体局部”之间来回切换。而书本上只有作图过程，而无完整的方法步骤，为此我归纳总结了四步，透彻地理解、掌握这四步，学习识图、画图也就不难了，具体步骤如下：
1．由基本几何体视图，利用投影原理，想象出基本几何体的形状和空间位置，可画出立体草图。
2．由视图上一已知点的投影，利用投影原理及可见性，想象该空间点在立体的什么部位，并在立体草图上标出。
3．根据立体草图，直观判断空间点所在立体部位（点、线、面）的投影，明确空间点在视图上大致的投影位置。若空间点所在部位投影无积聚性，则需要作辅助线或辅助截平面，先画出辅助线或截平面的视图。
4．利用投影规律及点的投影方法，作图即得表面点的投影，注意可见性，正确标注字母。
从线上到线下的教学方法篇2
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1.了解直线、射线和线段等概念的区别.
2.理解射线及其端点、线段及其端点、延长线等概念.
3.掌握射线、线段的表示方法.
(二)能力训练点
对学生继续进行几何语言和识图能力的训练，使学生逐步熟悉几何语句.准确区别直线、射线和线段等几种几何图形.
(三)德育渗透点
通过射线、线段的概念、性质、画法的教学，使学生体验到从实践到理论，以理论指导实践的认识过程，潜移默化地影响学生，形成理论联系实践的思想方法，培养学生勤于动脑，敢于实践的良好习惯.
(四)美育渗透点
通过射线、线段的具体实例体验形象美;通过射线、线段的图形体验几何中的对称美.
二、学法引导
1.教师教学：直观演示、阅读理解与尝试指导相结合.
2.学生学法：以直观形象来理解概念，以动手操作体会画法及性质的比较.
三、重点·难点·疑点及解决办法
(一)重点
线段、射线的概念及表示方法.
(二)难点
直线、射线、线段的区别与联系.
(三)疑点
直线、射线、线段的区别与联系.
(四)解决办法
通过学生小组内的讨论，针对直线、射线的概念、图形性质进行对比归类，教师根据学生回答整理，从而解决三者的区别与联系这一疑、难点.
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片(软盘)、直尺.
六、师生互动活动设计
1.教师引导学生通过生活知识，阅读书本相应段落、自己动手操作等，使学生自己去体会、发现射线、线段的概念、表示、画法等.
2.通过反馈练习，及时掌握学生的学习情况.
七、教学步骤
(一)明确目标
通过本节课教学，应使学生理解和掌握射线、直线的概念和表示方法及与直线之间的关系，通过相关画图题，增强对知识点的认识，培养学生动手能力.
(二)整体感知
通过教师指导，学生积极思维，主动发现的模式进行教学，再辅以练习巩固.
(三)教学过程
创设情境，引出课题
师：在日常生活中，我们常常见到直线的实例，上节我们也举出了很多实例.我们知道，直线是向两方无限延伸的.但在日常生活中，还有这样的现象：手电筒或探照灯射出的光束，只向一个方向延伸(可用电脑显示)，这就是我们要研究的一种新的几何图形—射线.
板书课题：
[板书]1.2射线、线段
探索新知
1.射线的概念
师：通过演示，我们发现射线向一方延伸.其实，它是直线的一部分，我们给它一个定义(板书射线的定义).
[板书]射线：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点.
如图1，直线上的一点和它一旁的部分就是一条射线，点就是这条射线的端点.
图1
【教法说明】关于射线，教师可更形象地解释：“射线”就是像手电筒或探照灯“射”出的光束一样，因此，取名“射线”.这样可使意义与名词紧密联系起来，让学生对此印象深刻.对于定义只简单提一下;不作发挥，并告诉学生：我们以后还要学很多图形的定义.
2.射线的表示方法
学生活动：学生阅读课本第13页，射线的表示方法这一自然段，并在练习本上表示一条射线，并注意射线的表示方法中应注意什么.
【教法说明】学生看书能看懂的问题，教师就给学生一个机会，让学生自己支配自己，而不是由教师牵着鼻子走.
学生看书后回答射线的表示方法，教师演示画出图形.
(1)用射线的端点和射线上的另一点表示，但端点字母要写在前面.如图2，记作：射线.
图2
(2)射线也可以用一个小写字母表示.如图3：记作射线.注意“射线”两个字要写在的前面.
反馈练习：〈出示投影1〉
如图3：射线与射线是同一条射线吗?射线与射线是同一条射线吗?射线与射线是同一条射线吗?
图3
【教法说明】通过以上练习，强调射线的方向性.端点相同，方向相同的射线才是同一条射线.
3.射线的画法
由学生看书后，在练习本上练习画图，找同学到黑板上画一条射线并表示出来.由学生说出画射线的要领.如图，画射线一要画出射线端点;二要画出射线经过点，并向一旁延伸的情况.请同学们说出：射线与射线的端点，并画出这两条射线.
4.线段的概念
教师由射线定义引出线段定义，直线上的一点和它一旁的部分叫射线.我们研究了其表示方法，画法.那么，在直线上取两点又该怎么样呢?画出图形.
我们叫这两点间的部分为线段.(板书定义)
[板书]线段：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段.这两点叫做线段的端点.如：长方体、正方体的棱等就是线段.
【教法说明】介绍线段定义后，可让同学们说出我们周围线段的实例，以调动其积极性，发挥其想像力.同时，也帮助理解线段的概念.
5.线段的表示方法
师：像直线和射线一样，线段也有两种表示法.你能依照直线和射线的表示方法，试着说出线段的两种表示方法吗?
同学之间相互讨论，最后得出线段的两种表示方法：如图4，、为端点的线段，可以记作线段或线段;也可以记作线段.
图4
【教法说明】有直线、射线表示方法的基础，对线段的表示方法学生能够举一反三，所以教师不必强加给他们，可以让学生自己想出其表示方法，体会其中的成就感.教学中一
定注意，只要是学生自己能够理解、能够通过自身垢体会悟出的知识，教师就不要一味地“灌”，要使学生学会自我解决问题的方法.学生思考：线段和线段是同一条线段吗?
6.线段的画法
学生自己画线段，体会其画法，总结画线段的要领.
学生活动：在练习上画线段，同桌讨论画线段的方法和应注意的问题.根据学生回答情况，教师归纳注意问题.
(1)画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况.(在这里可提问学生为什么.学生回答会说出：向两方延伸则成了直线，向一方延伸则成了射线.定会领略出射线、直线、线段的区别.)
(2)以后我们说“连结”就是指画以、为端点的线段.说明：“连结”是几何的专用名词，专指画出两点间的线段的意思.
7.直线、射线、线段的区别与联系
师：上节我们研究了直线的有关问题，这节我们又研究了射线和线段，通过我们的学习，你能试着总结一下直线、射线、线段三者的区别与联系吗?
学生活动：同桌间相互讨论，在练习本上小结三者的区别与联系.
【教法说明】学生总结一定不会有层次，但要放手让他们讨论，使学生学会归纳总结的方法.这也是学习几何中常用的方法，对一些概念、图形性质等往往需要对比归类，发现它们之间的相同点和不同点.教师从开始就要注意，引导学生学会对所学知识进行归纳、对比的学习方法.
根据学生回答教师整理：
联系：射线、线段都是直线的一部分，线段是直线的有限部分.
区别：直线无端点，长度无限，向两方无限延伸.射线只有一个端点，长度无限，向一方无限延伸.线段有两个端点，长度有限.
反馈练习(投影出示)
【教法说明】对于练习中的第1题要让学生把图形和几何的语句统一起来;第2题也可问以为端点有几条射线;第3题要注意所填的词应恰当.
(四)总结、扩展
由学生填写下表，归纳本节知识点.
从线上到线下的教学方法篇3
1.1教材内容解析
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》苏教版必修2中1232《直线与平面垂直》内容，属于新授概念原理课.
图1
如图1，这是直线与平面垂直在本章中的位置.直线与平面垂直是在学生掌握了直线在平面内，直线与平面平行之后紧接着研究的一种位置关系.线面垂直与线线平行、面面平行联系密切，线面平行研究了定义、判定定理以及性质定理，这就为我们本节课的研究勾勒出了一条主线.直线与平面垂直又是立体几何中最重要的一种位置关系，向下可以得到线线垂直，向上可以得到面面垂直，且后面空间的角和距离等都涉及到线面垂直，从而就显得尤为重要.
本节课的学习不仅起着承上启下的作用，还是学生体验由特殊到一般、类比、归纳、猜想、化归等数学思想方法与应用的过程.因此，学习这部分知识有着非常重要的意义.
1.2学生学情分析
1.21学生已有认知基础
学生已经学习了直线与直线垂直、直线与平面平行的相关认识.学生已有通过直观感知、操作确认的方法研究直线与平面平行的直接经验，对空间概念、原理的建立有一定的基础.学生初步养成了独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯.
1.22达成目标所需要的认知基础
学生需要对研究的目标、方法和途径有初步的认识，初步具备类比、猜想、抽象概括、空间想象能力.
1.23教学重难点及突破策略
依据教材内容解析和学生学情分析，我确定本节课的教学重点难点及突破策略如下：
教学重点直线与平面垂直定义的生成过程，判定定理的发现过程，以及性质定理的证明过程.
教学难点直线与平面垂直的定义和判定的生成过程，性质定理的证明方法的发现过程.
突破策略教师引导学生先明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段;组织学生汇报交流，展现思维过程，相互评价，相互启发，促进反思;让学生经历直观感知、猜想、抽象概括、适当证明或说明的过程.
1.3教学目标设置
基于教材、学情分析，充分关注学生的发展，在此基础确立了本节课的教学目标如下：
（1）通过对现实生活中的实例、模型的观察、类比、抽象、概括出直线与平面垂直的定义，发现、推测、归纳直线与平面垂直的判定定理，探究直线与平面垂直的性质定理及证明方法.
（2）感悟特殊到一般、化归等数学思想;了解反证法，发展类比、归纳等合情推理能力、逻辑推理能力和空间想象能力.
（3）体会数学的严谨、自然、简洁之美，体验数学探究与发现的乐趣，培养质疑、思辨、发现问题的意识和自主探究、思考的习惯和能力.
2教法学法
根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用启发探究式.通过教师引导，激发学生自主探究，动手操作，体验感悟，总结提炼.引领学生达到定性研究线面垂直的目标与方法，经历研究线面垂直的定义、判定定理和性质定理的过程，并在研究的过程中逐渐完善研究手段，提高研究能力.学生的自主探究，具体表现为：
（1）建构直线与平面垂直的概念时，学生自主举例，观察猜想，抽象概括，并用自然语言、图形语言、符号语言表示.
（2）探究直线与平面垂直的判定定理与性质定理时，学生通过实验探究、观察探究、操作确认的方式猜想归纳并表述.
（3）性质证明时，学生自主探究证法，相互交流提升，最终解决问题.
3教学过程
为了达成教学目标，具体教学可以分为以下五个过程：
建构定义形成判定产生性质课堂小结布置作业
图2
下面对每一过程中要解决的问题和主要做法以及步骤作出说明.
3.1建构定义
根据学生已有的知识基础，建构定义部分，我设计了以下8个问题：
问题1直线和平面有哪几种位置关系？
问题2研究了直线和平面平行哪些内容？
设计意图以问题串的形式复习线面关系，勾勒出本节课的研究线路.
问题3直线和平面相交中最特殊的一种情况是什么？
活动31：你能利用手中的工具，摆出一些直线与平面相交的情形吗？
活动32：大家摆出了这么多种“相交”，你想先从哪一种情形开始研究呢？把它摆出来.
活动33：那你能给“这种情形”（教师比划”直线与平面垂直”的形象）起个名字吗？
追问331：为什么命名为“垂直”呢？
设计意图先让学生动手操作――发现线面垂直是相交最特殊的情形;紧接着让学生自主命名――使学生体验成功快乐;进而追问为什么命名为“垂直”？――学生联想“直线与直线垂直”，用已知的概念来表示未知概念，为定义建构埋下伏笔.
问题4为什么先研究线面垂直？
设计意图让学生认识到研究新问题的途径为：由特殊到一般，由简单到复杂.
问题5为什么要研究线面垂直？
设计意图通过让学生举出生活中的实例和几何体中的实例，感受到线面垂直普遍存在，有研究的必要性.
问题6你认为应该研究直线与平面垂直的哪些内容？
设计意图培养学生模仿类比能力，根据直线与平面平行的研究内容，确立直线与平面垂直的研究目标.
问题7圆锥的轴与底面内的任意一条线是什么关系？
问题71：圆锥的底面是如何形成的？
问题72：圆锥的轴与底面半径是什么关系？为什么？
问题73：圆锥的轴与底面不过圆心O的直线m是什么位置关系？为什么？
问题8你能给“直线与平面垂直”下个定义吗？
活动81：分别用文字语言、图形语言和符号语言表示定义.
活动82：“任意”等价于“所有”吗？等价于“无数”吗？
活动83：如图3，圆锥的母线PC与底面垂直吗？为什么？
图3
例1求证：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
设计意图通过几何画板动态展示圆锥的定义，让学生观察思考，探究发现，由于前面问题串的铺垫，问题8就水到渠成地解决了.活动81培养了学生总结概括、语言转换能力.活动82，83旨在通过词语辨析、反例辨析，固化对定义的认识.例1是概念的应用，它的证明既可以使用定义，也可以使用判定定理，但教材中把例1的位置放在定义建构以后，而非在判定定理形成之后.从而没有必要在教学时将位置后置，人为的将问题的证明复杂化.
3.2形成判定
探究活动请同学们动手操作并思考系列问题：
（1）怎样将一本书立在桌面上，使得书脊能与桌面垂直？这样的书至少需要几页呢？
（2）将手中的练习纸折叠，折痕满足什么条件，折痕与桌面垂直？
（3）观察下列的实例，给你什么启发？（PPT上展出两幅图.图1为立在跑道上的跨栏架，图2为一个长方体）
设计意图此环节，先问学生“根据定义如何判断旗杆所在直线是否与地面所在平面垂直？”由实际操作的困难，认识到研究判定定理的必要性.关于判定定理的产生途径，设计时准备了四种探究方式：
（1）观察生活中的实例，提炼结果;
（2）设计操作过程，让学生自己动手;
（3）自然分类：垂直于平面内一条直线行吗？两条平行直线呢？两条相交直线呢？
（4）数学本质的探究，由无限到有限的思想.
这四种方式对学生能力的要求各不相同，（1）是“直观性教学”，目标指向明显，思维难度较小，（4）对学生的逻辑思维能力、抽象概括能力有较高的要求.赛课时由于对学情的不了解，最后在课堂上选择采用了操作与观察相结合的方式，这样的设计也满足了不同层次的学生的能力需求，体现了分层教学.
3.3产生性质
探究活动（1）教师与某学生都站立在教室里，把站立的俩人抽象成两条直线，都与地面所在的平面垂直，两人所在直线的位置关系是什么？你能发现什么结论吗？
（2）用数学语言描述这个发现，并用图形语言和符号语言表示出来.
（3）尝试从理论上给予证明呢？
让学生明确任务后，在练习纸上尝试证明，随后教师用展台展出学生的证明方法.接着让学生交流点评，教师总结.
设计意图设计发现性质定理的时候，有两条思路：其一，将性质定理与例1进行对比，通过命题变换;另一种是通过感知，让学生发现性质.由于本节课内容较多，课堂上选了第二种方式.性质定理的证明是本节课的难点，而非重点.采用学生先行尝试，再展示交流，调动了学生的学习主动性，提高合作交流的意识和能力.通过展示学生中的错误，让学生学会反思，从错误中学习，充分暴露学生思维过程中的闪光点.（学生的错误主要在于平面内构造的直线与直线a，b不在同一平面内，而又错误地用了平面中的结论.）在这里，直接证明的难点成为间接证明的思维起点，从而顺利地将学生的思维从直接证明的思路顺利引向间接证明的方向.
3.4课堂小结
为了进一步培养学生的概括和表达能力，系统掌握所学的知识，引导学生从三个层次进行总结：学习了哪些知识？掌握了哪些方法？体会了哪些思想？
3.5布置作业
通过作业对学生的学习情况进行反馈，对教师的教学进行有效矫正，布置如下作业：
（1）阅读课本第33页性质定理的证明，思考与本节课堂上给出的证明有什么共性？
（2）画出本节课的知识图，罗列证明线面垂直有哪些方法？
（3）课本第34页练习题1，3.
4教后思考
4.1对教材的认识
对照不同版本的教材，“直线与平面垂直”这一节内容出现的顺序是有差异的.人教版和北师大版教材，均将其置于“空间平行关系”之后.而苏教版教材，“直线与平面垂直”是紧随“直线与平面平行”，并与“直线与平面斜交”三者隶属于“直线与平面的位置关系”一节.苏教版教材编写意图在于：其一，研究空间位置关系的方法不外乎定性研究和定量研究两种，“线面平行（垂直）”均为定性研究，而“线面斜交”则为定量研究.其二，研究一个新的数学问题，一般遵循从特殊到一般的规律，故而先研究“线面垂直”.其三，“线面平行”的研究思路为“线面垂直”指明了方向，提供了研究方法.从定义到判定定理再到性质定理的研究顺序学生了然于胸.其四，空间问题平面化，将未知转化为已知的思想，前面的学习中已经有了铺垫.因此，课堂上要能将编者意图巧妙地体现，并渗透数学思想.
4.2一点感悟
本节课的成功之处在于通过设置有效的问题串让学生体验探究问题的过程，使得学生的主体地位得到确立，让学生体验成功的快乐.此外，不单纯为完成教学任务而忽视学生的课堂反馈，也是学生主体地位的体现.在课堂时间较紧、评优课又要求课堂流程完整的情况下，能充分暴露学生的思维过程.（如：学生使用反证法进行性质定理的证明时，自然地由假设不平行，想到两直线相交或异面的情况.教师顺着学生的思路加以引导，而不是生拉硬拽地把学生的思路拉到课本上.但证法的本质是相通的，同样可以达成教学目标.）本节课同时还注重师生间交流和学生思维发展，利用展台对比学生的书写，互相评价，规范书写，效果较好.
从线上到线下的教学方法篇4
一、运用公理定义“直线与平面垂直”概念的思考
对于直线与平面垂直定义的教学，大多教师会演示课本上的实例，旗杆与地面的位置关系，让学生观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子。并指出旗杆所在的直线与地面内任意一条过交点的直线垂直（和不过交点的直线也垂直）。
有些教师也会借助于使用多媒体CAI，展示在现实世界中大量存在的直线与平面位置关系中的这种很特殊的情形，对学生增强直观的直线与平面垂直形象课堂容量进行演示。
在教师的诱导下，学生会利用知识的迁移，自然而然联想到平面内两条直线互相垂直和空间两条直线相互垂直的知识，猜想总结出这种特殊位置关系应该称为“直线与平面垂直”关系。此时，有的教师认为下定义的时机已经成熟，或者引导学生自己去给出准确的定义，或者直接给出教材中的概念：“一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直”。我们研讨认为这种教学方法有值得思考的地方。
是不是我们一定要用“如果一条直线与平面内的所有直线都垂直则称这条直线与平面垂直”来定义？当然我们也可用“如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则称这条线与平面垂直”来加以定义（如图）。我们知道，这里的两种不同的条件实际上是等价的，可以互相推出，所以本来这两种选择都可以作为定义的。
既然二种关系原来都可以定义概念，那我们为什么要用第一种方法来定义？
在数学体系中，各个名词是预先已经用公理定义的概念，这样的公理系统是一个实质性公理系统。因为要先定义概念，所以就要有一些原始的概念作为定义其他概念的出发点。一般来说当几种公理都可作为定义某一要领时，特别是有的概念在下定义时，本来就可以有多种选择的情况下，数学体系中往往会把简单的公理留着作为判定定理。比如在初中教材中，平行线的定义与判定定理就是如此。在此，我们就容易理解了数学体系中用第一种方法来定义直线与平面垂直概念，而不是用第二种方法来定义直线与平面垂直概念的理由了。
通过我们以上的教学，让我们的学生知道了“如果一条直线与平面内的所有直线都垂直则称这条直线与平面垂直”与“如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则称这条线与平面垂直”从本质上来说是等价的道理，为后面的判定定理的学习与运用，埋下了伏笔。
二、从定义引入到判定定理教学的思考
接下来，我们再思考另一个问题，就是在学了“直线与平面垂直定义”后，如何引入“直线与平面垂直的判定定理”的问题？大多教师会按照教材的思路进行这样的引入教学：“要证明一条直线和一个平面垂直，若每次都要证明这条直线和平面上每一条直线都垂直，显然是很麻烦也不必要的”。
这样的引入值得我们教师进行认真的思考了，注意这里教师的引导语“很麻烦也不必要”可能会给学生带来二个误处。
误处一：“很麻烦”导致学生在不善于直接从定义去思考问题，
误处二：“不必要”导致学生误认为遇到有关直线与平面垂直的判定问题时，根本不用去想用定义去证明。
这种误处，学生一旦形成，对所有的定义的理解和运用，特别是对学生的思维活动是非常有害的制约。
实际上，有许许多多的题，完全可以应用定义判定直线与平面垂直，例如：“如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面”，既可以用后面的判定定理证明，也可以用定义来证明。我们也可以运用定义来发散思维证题，例如：根据直线与平面垂直的定义，如果平面内存在一条直线与平面的一条交线b不垂直，则可以断定此平面与直线b不垂直。
所以说，定义不是没有用，而是看我们怎么去用。有时用定义去判定比用判定定理更容易解决问题。但大多数情况下，用定义去判定直线与平面垂直确实非常困难，要告诉学生，因为平面内直线的无限性，一条直线与平面内的所有直线都要判定与此垂直，既不现实，也难以操作，所以必须去寻找一种能够避免逐一确定无限条直线与此直线垂直的问题，从而引入到判定定理的教学中。
三、对教材中的判定定理的思考
对直线与平面垂直判定定理，过去大多教师会这样引入：“让我们先来看看木工师傅是如何判断一根立柱是否和板面垂直的方法，用曲尺（注：曲尺，是指木工及钳工常用的一边长一边短的直角尺）检查两次，只要两次，但曲尺靠板面的尺，两次不能在同一条直线上，如果立柱、板面都和曲尺的两条边完全吻合，便可断定立柱和板面垂直。从中你能得到判定直线和平面垂直的方法吗？”引导学生进行猜想推测，从而引入判定定理。
有的教师也会按照教材P65图2.3-4探究的折纸方法引入直线与平面垂直判定定理。但教材也好，老师也好，不管怎么引入判定定理，最后都没有给予确切的严格证明，教材中只提出了二个思考问题作为运用时必须注意的问题——定理中两条相交直线不可忽视（P65），就算把判定定理概念教学告一段落，接下去就直接进行如何运用判定定理了。
这种没有严格证明的“判定定理”，我们认为教材处理不妥会让学生有些迷茫。迷茫有三：
1.我们说，数学中的命题，必须经过严格的证明是正确的，才能成为定理。如果象教材上的实例引入，确实是对的，那也只是是用实验的方法验证了这确实是“正确”的。这种没有经过严格证明的“判定定理”真的是正确的吗？
2.刚刚前面说过，用定义判定直线与平面垂直不现实也难操作，所以要引入容易判定的直线与平面垂直的判定定理，而现在引入了判定定理却又不给证明，这“判定定理”到底是对还是错？
3.教师说，这定理以后可以借助空间向量等方法怎么怎么地来证明，如果以后确实可以证明了，那绕了一大圈，学生会不会说原来也可能是个数学怪圈？是否会产生循环论证之类的错误呢？用今天尚未证明的“判定定理”A推出B，再用B去推出C……，C推出A。
从线上到线下的教学方法篇5
关键词线性代数；数学概念教学方法
线性代数作为工科院校的重要基础必修课，具有应用性强，与现代经济、金融、统计、管理密切相关等特性，且对于培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、解决实际问题能力有着重要的意义。因此，为培养与提高学生应用数学知识、解决实际问题的能力，进一步研究这门课程的教学思想和方法对提高教学效果甚为重要。
一、线性代数教学存在的问题
线性代数的教学内容抽象、概念多、定理多、方法多，且证明方法独特，不易理解。因此我觉得线性代数的教学主要存在如下问题：
（1）线性代数对学生而言是全新的内容，具有概念多、抽象程度高、逻辑推理密的特点，学生比较难接受，它不像高等数学，前面的内容是从高中过渡来的，学生有信心听懂。对于线性代数而言，学生的思维方式很难从初等数学的那种直观、简洁的方法上升到线性代数抽象复杂的方式，故思维方式在短期内很难达到线性代数的要求。大部分同学习惯于传统的公式，用公式套题，不习惯于理解定理的实质，用一些已知的定理、性质及结论来推理、解题等。
（2）线性代数的题目比较难，计算题计算量很大，学生经常花很长时间都做不出来。因此，在考试的时候即使碰到类似的题目，学生只是觉得有点模糊的印象，却不知从何下手。
二、提高线性代数教学质量的建议
面对这些问题，教师要在有限课时内带领学生跨越自主学习障碍，培养学生逻辑思维能力显得格外重要。结合教学实践，提出以下几点建议。
1.加强基本概念的教与学
线性代数这一抽象的数学理论和方法体系是由一系列基本概念构成的。高等数学与初等数学在含义与思维模式上的变化必然会在教学中有所反映。线性代数作为中学代数的继续与提高，与其有着很大不同，这不仅表现在内容上，更重要的是表现在研究的观点和方法上。
在研究过程中一再体现由具体事物抽象出一般的概念，再以一般概念回到具体事物去的辨证观点和严格的逻辑推理。
尽管抽象性是《线性代数》这门课的突出特点，直观性教学同样可应用到这门课的教学上，且在教学中占有重要地位。欧拉认为：“数学这门科学，需要观察，也需要实验，模型和图形的广泛应用就是这样的例子。”直观有助于概念的引入和形成。如介绍向量的概念，尽管抽象，但它具有几何直观背景，在二维空间、三维空间中，向量都是有向线段，由此教学中可从向量的几何定义出发讲解抽象到现有形式的过程，降低学生抽象思考的难度。
2.培养与激发学生的学习兴趣
兴趣是最好的老师，如何激发学习兴趣呢？线性代数这门课程抽象，学生更看中它在哪些方面可以应用，怎么应用。而线性代数作为“数学工具”，虽然它的理论在物理、化学、生物技术、国民经济、航空、航海等领域中有着广泛的应用，但是在目前的教学材料中，很少有相关知识点的具体应用，不像其他数学课那样容易和实际结合。
因此，教师需要积极思考这些问题，不断查阅资料，主动搜集应用方面的例子，并应用到平时的教学中。
当讲解一个新概念时，不能直接把它的内容灌输给学生，而应该尽量结合已学过的知识或者实际问题，来引出这些概念，这样不仅可以说明抽象的理论在实际应用中强大的生命力，还可以激发学生学习线性代数的积极性和创造性。例如，为什么要定义n阶行列式？我们可以从两个变量两个方程的线性方程组求解的过程，引入二阶行列式，进而提问，对n个变量n个方程的线性方程组，我们是否可以用n阶行列式来求解？如果这样做，如何定义n阶行列式？通过这些提问，再通过二阶行列式的表示结构，就可以去定义n阶行列武了。
3.发挥多媒体优势，增强教学效果
从线上到线下的教学方法篇6
一题多解，培养发散思维
例1.求抛物线y2=4x上一点P到直线y=x+2距离的最小值，并求出此时点的坐标。
解法一：（函数法）设所求P点的横坐标为a，纵横坐标为b，先由点直线的距离公式建立所求距离d与a、b之间的函数关系式后，把点P的坐标代入抛物线方程后，再代入目标函数中消去可得d与a的二次函数，求此二次函数的最小值即为所求。解法二：（判别式法）可设与已知直线平行且与抛物线相切的直线的方程为：y=x+m，将此直线方程与抛物线方程联立得关于x的一元二次方程，因为直线与抛物线相切，所以令其判别式法为零，得关于m的方程，解之得m的值，将m代回上述方程可得P的坐标，再由点到直线的距离公式求出两平行线间的距离即为所求。解法三：（导数法）抛物线方程中令y大于零时，则可把y看成x的函数，因为平行于已知直线且与抛物线相切的直线的斜率为1，而由导数的几何意义知切点处的际数值等于切线的斜率，所以求其导数后令导数等于1可得与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点的横坐标，以下的解法同上。
以上三种解法，第一种解法学生容易想到，思维量要小一些，但利用点到直线的距离公式和直线、抛物线的方程建立目标函数后涉及二次函数的绝对值的最小值，学生容易算错；第二种解法是解几的通法，多数学生都会做；第三种解法运算量最小，但不易想到，是体现多想少算的典例。在课堂教学时，教师可先让学生用多种不同的解法解题，让学生先尝试，在尝试过程中，发现多数学生只能用一种方法解，学生的思维受阻，但能及时暴露出思维过程，教师及时点拨，可以收到事半功倍的效果。在解题时，多数学生遇到的困难是思路打不开，找不到切入点。因此，坚持一题多解训练，“碰壁点拨”可以发展学生的发散思维，拓宽解题思路。
构造函数，培养抽象思维
例2.设a、b是不相等的两个正数，且blna-alnb=a-b，试判断a+b>2是否正确？
解：由已知可构造函数，再求其导数可知，当x大于零而小于1时，其导数小于零，函数在此区间上为单调递减当x大于1时，其导数大于零，此时函数为单调递增（图略）。以因为f（a）=f（b），不妨设a大于零小于1，b大于1，且1-a
此题表面看是考察不等式和等式，其实质是考察函数图象和性质。那么，又如何由等式、不等式想到构造函数呢？关键是要引导学生从具体的数学现象中抽象出数学的本质东西。一般的，学生将已知条件进行整理、a和b各归一边后，就不知所措了，思维上碰壁了。此时，教师进行点拨，引导抽象出函数后此题就迎刃而解了。抽象思维能力的培养是解题教学，也是数学教学的核心之一。高中数学中构造函数是培养学生抽象思维的一种行之有效的方法，也是重要的解题思想和方法。教学中，教师要创造条件让学生适时“碰壁”，大胆暴露其思维过程，及时“点拨”，使学生抽象思维能力得到提升。
正难则反，培养逆向思维
例3.关于x的方程：x2+2ax+a-1=0至少有一负根，求实数a的取值范围？