对数学教学的理解(6篇)
对数学教学的理解篇1
[关键词]几何画板；数学教学；教育应用
1为什么要用于教育中
几何画板能够用于教育中，这是由它的特点所决定的，正如其名“21世纪动态几何”，它可以创设一个通用的数学或物理情境，能够动态地展现出几何对象的位置关系、运行变化规律。纵观数学领域中的知识内容，都是理论性非常强的，有些甚至完全是抽象的概念，这样的知识脱离了实际生活，实际上是最不容易被学生理解和接受的。刘良华（2009）认为数学学习强调理解，理解是学好数学的关键；巩子坤也在他的论文《数学理解说及其理论与课程意义》中尤其强调了这一点，他指出了理解对于数学学习的重要性及意义，并构建了数学理解的模型；王瑞霖则提出数学理解是培养能力的有效途径，数学能力的产生依赖于对知识的理解，他将数学理解界定为一种结构化的学习过程，在此过程中学习者将数学知识内化为数学能力。笔者认为，尽管理解是学习数学的关键，学习者将数学知识概念等内化到自己的知识体系中时，就表示他理解了，但是传统的教学时很难做到这一点的，传统的数学学习方式有三步：解题、记忆、理解，尤其是在教学中往往在问题讨论之前就直接给出了相关的概念定义等，导致的结果就是学生缺乏对数学知识感性认识，甚至无法接受或认同数学知识。这种方式的理解实际上还是表层的，并不能真正内化到自身的知识系统中，而几何画板可以辅助教学，动态展现数学知识，建立数学模型，使学习者建立数形结合的意识，这样完全可以改善传统数学教育中的弊端。
2它可以带来什么
张卓在《探究几何画板辅助微积分教学的展演模式》中归纳了几何画板的三个特点，即学习容易、操作简单，功能强大；他认为将几何画板用于数学教学中可以充分发挥其信息量大、化远为近、化静为动等优势为学生提供一个自由、开阔的“做”数学天地；赵生初则在对几何画板在初中教学实践中的探索中发现几何画板可以不仅可以帮助学习者深刻地认识问题本身，还能降低问题求解难度，提高学习者分析解决问题的能力；而孙云飞认为几何画板除了作为一般教学的辅助工具，还可以作为一种评价工具，这一点与王瑞霖的观点不谋而合，他们认为几何画板可以测评学生的数学理解程度，对过程性评价的实施具有很大的帮助。另外，王伟在他的研究中提到利用几何画板还可以更新教学内容的呈现方式，可以使学习者从一个新颖的角度去理解学习数学知识。笔者认为可以这么说，几何画板带来的不是告诉使用者它是功能多么强大的软件，它不同于以往的Authorwear和Flash软件等那么的复杂难学，而是将数学思想融合其中的一种全新的信息技术手段，是拓宽学习者认知的途径，是使学习者真正理解数学的最好工具。
3我们怎么用
3.1支持教师的教
在这里，几何画板主要被用在以教师为中心的课堂教学中，作为一种辅助教师教学的工具，其中教师扮演着知识传授者的角色，几何画板是传递教师教学信息的一种媒介，是支持教师教学的教具。在传统数学教学中，遇到难以理解的抽象的数学概念，比如函数的概念，教师一般是将概念一开始就告知学生，让学生死记硬背，然后让学生直接应用在解题上，但是这样会打乱学生的认知理解系统。孙云飞提出在函数教学中，可以利用几何画板化静为动的特点将函数表达式变为运动的模型，以直观、简洁、明了的形式引导学生学习，有效解决学生实际理解困难的难题。同样，王瑞霖认为几何画板具有动态的几何关系，可以利用其方便的几何变换来进行图形构造，加强学生对数学问题的理解，从而内化为数学能力。另外，几何画板还可以帮助教师优化课件设计，传统的数学课件一般都是从如何减少教师在课堂上画图的时间来进行设计的，但是这样的课件与黑板演示教学没有什么区别，这样的方式并不能充分发挥信息技术的作用，也不能体现信息技术与教育整合后的优点。但是几何画板可以利用自身特点，从教师教学对象出发，以教师的教学目的为切入点优化教学课件，弥补了传统教学的不足，使教师的教学更加人性化并能够通过几何画板进行知识的延伸。
3.2支持学生的学
这里的几何画板主要被用作学习者的学具，用来支持学习的学习活动。数学知识不仅包括数学概念，也包括借助数学概念而产生的定理，但是传统的学习很难搞清楚它们之间的关系，这也是学生学习数学的一大难题。而赵生初认为几何画板在帮助学生形成数学概念的同时，还能够直观、生动地揭示不同数学概念或定理等之间的联系，这样有助于学生的理解。几何画板具有测量、计算、作图等实际性的操作以及动态演示功能，学习者可以通过几何画板深刻的地认识到数学知识的本质，真正将数学知识与自身知识体系有效整合，并通过此学习过程提高自身分析解决问题的能力。此外，几何画板还支持学习者的探究学习，这时教师成为了引导者。周清认为这种方式适合于数学概念、公式、定理等基础知识的研究、学习，在应用过程中可以体现学生参与发现过程的主体地位，注重数学知识的“再发现”。几何画板作为灵活性非常强的辅助学习软件，学习者可以透过它真实感受数学知识的魅力，发现数学知识的奥妙，产生数学学习的兴趣，形成数形结合的思想，培养合作创新意识，找到参与数学研究全过程的乐趣。
3.3情境创设
王琳认为在数学教学中应该重视问题情境的创设，而这个情境应该与学生的生活环境、知识背景密切相关，还要使学生感兴趣，体会到数学教学的价值，但这是传统教学软件中很难实现的。利用几何画板方便的几何作图功能创设情境，这是由它区别于其他教学软件的优势所决定的。张卓在探究以教师为主导、以学生为主体的课堂几何画板辅助教学展演模式时，提到的第一点就是利用几何画板巧设情境，可以激发学生求知欲望；王伟在文章中提出可以通过几何画板创设问题动态情境，改善学习者的认知实践环境；赵生初也认为借助几何画板及其所创设的问题情境开展数学教学时传统教学手段的有力补充，它能够极大地促进数学教学的有效开展；郑海生在研究如何使几何画板与数学有效整合时从创设问题情境切入，可以发现几何画板能方便地创设数学情境，使学生逐步发现问题中变与不变、动与静、形与数的对立统一关系。综上所述，利用几何画板创设情境，可以使数学变得有趣，拉近与学生的距离，让学生在显示情境中体验理解数学，并将关注点主要放在了学生体验性学习上。
3.4实践探究
在数学教学中，实践探究是不可或缺的一部分，学习者通过动手操作，亲身做实验体会数学知识内涵。布鲁纳认为，“探索是数学教学的生命”是“实践—认识—再实践—再认识”的过程，而数学的对象不仅是抽象的思想材料，而且是形式化的思想材料。传统的教学可以说是机械式学习，尽管新课程标准倡导“数学应面向全体学生，实现‘人人学有价值的数学’‘人人都能获得必需的数学’，不同的人在数学上得到不同程度的发展的‘大众化数学’的理念”，但是在实际教学实施中一般是被忽略的，这其中有多方面的原因，但是究其根本还是在于理念无法真正实现，张峰在《以几何画板为载体，开展数学实验教学》中就从实验教学的角度出发，对几何画板的应用进行了案例分析，比如人教版八年级上册的《勾股定理》，传统的教学方式是“看图说话”，学生是完全的听数学，最后只强调记忆公式即可，但实际上学生并未理解为什么是这样，公式又是怎么来的，但是作者认为借助几何画板就可以很好地解决这个问题。教师将学生的地位从被动记忆转为主动参与，利用几何画板的测量、动画等功能，通过做数学实验，主动探索发现，吸收整合知识。
3.5理解评价
教学是以学生为主体、需要学生亲身参与的活动，而数学教学又是以理解为最终目的的，那么理解的效果如何不得而知，因此学者们通过研究发现，几何画板还可作为评价工具，孙云飞认为学生的数学学习成效需要有效验证，当学生的学习得到肯定，才能够真正的激发学生的学习兴趣，只有用事实说话才可以坚定学生解决问题的决心；而王瑞霖、綦春霞和田世伟合作针对几何画板作为评价手段工具进行了深入研究，他们认为教师应该全面地考虑学生对学习的理解，利用几何画板测评学生的数学理解程度不但可以为教诊断和改进学生的数学发展提供帮助，还能够开拓评价理论在数学教育中的应用，他们在研究中提出让学生使用几何画板处理数学问题，并通过其作业完成情况对学生能力作出评价，了解学生对问题的理解程度，这中间关注较多的应该是对学习活动的过程性评价，他们研究表明几何画板可以作为评价学生数学理解的一种手段，完全可以在一定程度上弥补测试评价的缺陷。
3.6过程展示
数学教学的要求是直观、简单、便于记忆，但是作为抽象思维的代表，数学教学其中的概念定理等之间的联系又是错综复杂的，而学者们也一直致力于如何更好地促进学生数学概念的形成、揭示不同数学知识之间的联系以及数学问题的解决等教学实践探索研究，但是以旧有思路去研究肯定是不行的，让学生们在过程中获得知识，得到提高，正如郭仕忠所说的，数学教学应该激发学生的学习积极性，再现数学家思维活动的过程，把“发现过程中的数学”返璞归真地交给学生，让学生的思维进入规律再发现的过程，达到理解掌握和发展创造；因此赵生初在对初中数学教学实践探索中引入了几何画板，借助几何画板变抽象为具体、变静为动的特点，直观生动地将数学概念的抽象过程进行“展示”，使学生在观察思考比较分析中积累数学知识，并对其感性认识，达到对数学概念本质特征的有效理解。而几何画板可以使数学领域中的概念和关系得到更明晰的阐述，几何概念变得更加抽象而易于处理，数量关系则变得更加形象而易于直观理解。
4结语
对数学教学的理解篇2
关键词：数学史；教学知识；无理数
1研究背景
教师是一项专业性较强的职业，教师有效教学所需要的知识是教师的专业知识，可称为教师教学知识或者教师知识，它有别于一般的学科知识，是教师职业专业化的必备特质．以数学为例，一般学过数学的人只要能理解并运用相关的数学知识即可，但作为数学教师除了需要掌握这些学科知识以外，还需要了解并掌握该知识点的重点和难点是什么，学生最容易出现哪些错误，该怎么教最适合学生的学习，知识点与学生已掌握的知识之间有怎样的联系，该知识点需要讲到什么深度即可，等等，这些都属于教师教学知识的范畴．知识是个体的核心特质，教师的教学知识直接影响着教师的教学行为，提升教师的教学知识，对促进教育的发展有着重要的价值．那么，哪些因素会影响教师的教学知识？教师教育中数学史课程的学习对教师的教学知识有着怎样的影响？这些问题目前还缺乏深入研究，这里将以无理数的教学为例，探索数学史对职前教师教学知识的影响．
2理论基础
在20世纪初期，就有学者关注教师的知识结构和知识深度对教师教学的影响，并开始探讨教师的有效教学都需要具备哪些知识[1]．在早期，学者们都意识到教师所具备的学科知识对教师的教学会产生直接的影响．有学者研究表明，教师的学科知识与学生的学业成就在一定程度内（例如几门课程内）具有正相关性[2]；也有学者研究表明，教师的学科知识越多，教学越有效，与其它知识的联结也越多[3]．但是，学科知识并不等价于教学知识，并不意味着教师掌握的学科知识越高深，教学效果就一定会越好，这点从很多一流数学家在数学教学方面并不擅长就可以看出．在对教师教学所需要的知识进行深入探索后，学者们发现除了学科知识影响教师的教学以外，有关教学方法的知识也会影响教师的教学，并在教学中扮演着重要的角色．甚至有学者认为，怎么教比教什么更为重要[4]；也有学者认为有关教学方法的知识是教师教学知识的核心[5]．在美国学者Shulman提出PCK的概念以后，人们逐渐开始从学科知识和教学方法的知识两个方面对教师知识进行了研究，也提出了很多种教学知识的结构模型．其中美国学者Ball所提出的MKT模型，近年来受到学者们的广泛关注．该模型基于扎根理论，将教师教学知识分为学科内容知识（SMK）和教学内容知识（PCK）两个部分．其中学科内容知识又分为一般内容知识（CCK）、专门内容知识（SCK）、水平内容知识（HCK）3个方面；教学内容知识分为内容与学生的知识（KCS）、内容与教学的知识（KCT）、内容与课程的知识（KCC）3个部分[6]，具体如图1所示．由于该模型和教师教学的特点比较吻合，能从“教什么”和“怎么教”两个方面阐述教师有效教学所需要的知识结构，在教学知识的研究中得到较为广泛的运用．研究将以MKT模型为依据，分析教师教学知识的变化情况。数学史对数学教育的影响已有较多的研究，也有很多学者探讨了数学史对数学教师的影响[7]，数学史对学生数学学习的影响[8]，以及数学史融入数学教学的各种策略[9]．但是从教学知识的视角，探讨数学史对数学教师教学影响的研究还不多．鉴于教学知识的重要性和数学史的教育性，有必要对数学史和教师教学知识的联系进行研究分析．在无理数的教学中，如何让学生更好地认识和接受无理数，是教师在教学中面临的困难之一．之所以会出现这种现象，有其必然性．因为在学习无理数以前，学生所接触到的基本都是有限的世界，所学的概念都有着较强的现实背景；而无理数涉及到了无限的现象，要让学生更好地理解无理数的概念，教师需要在教学中培养学生无限的意识．从知识点的历史发展看，学生有这种困境也是必然的．无理数从出现，到被广泛接受，历经了一千多年的时间，根据人类学习的历史相似性，知识形成经历如此漫长的发展过程，要让学生在短短的一节课中接受和理解它是十分困难的．目前，已有很多学者对无理数的教学进行了研究，有教师介绍了自己的无理数教学经验[10]，也有教师指出无理数教学所存在的几种误区[11]．有学者研究表明，学生虽然对无理数的形式定义掌握较好，但是存在概念表象比较单一、直觉与形式知识不一致、直觉与运算法则不一致等不足[12]．也有研究表明，职前教师对无理数和有理数的个数的理解比较弱[13]．在无理数的教学方面，有学者从定义、概念等7个方面对无理数的教学提出了建议[14]，也有研究表明可以用数学文化和数学史来帮助教师改进无理数教学[15]．由此可见，虽然在无理数的教与学方面已有较多的研究，但是对于无理数教学中所需要的教师知识，以及影响因素有哪些还缺乏研究．这里就无理数的发展历史对职前教师教学知识的影响情况进行分析．
3研究过程与结果
3.1研究方法与过程
不同的研究目的，需要不同的研究方法．一般来说，量化研究可以用来解决“是什么”的问题，而在研究“为什么”和“怎么样”方面，质性研究更适合[16]．鉴于教学知识的内蕴性和复杂性，难以通过合适的量表来测量教师的教学知识，因此采用质性研究会更为清晰地了解教师内心的变化过程．在研究对象方面，从某高师院校的三年级数学师范生中随机选取10位进行研究，在研究中分别用PT1-PT10表示．由于研究者即为数学史课程的授课教师，因此也属于行动研究的范畴，研究者将通过数学史课堂内外的观察，更好地了解职前教师教学知识的变化情况．研究过程可分为5个步骤：（1）要求职前教师在微格教室，对浙教版七年级上册3.2实数的内容进行模拟教学（1课时），并提交教学视频和教学设计．（2）随后，研究者向他们介绍了无理数的发展历史，包括从公元前Pythagoras学派发现无理数，到Eudoxus和Archytas的新比例理论；从西方学者对无理数的排斥到东方学者对无理数的巧妙处理；从近代部分西方学者开始逐步接受无理数，到Weierstrass、Meray、Dedekind和Cantor等数学家所建立的无理数理论．以及无理数名词的由来，无理数教与学的现状，并向他们展示了若干数学史融入无理数教学的案例．（3）在了解无理数的发展历史后，职前教师对原先自己的模拟教学进行反思．（4）反思过后，职前教师对原先的教学设计进行修改，并再次进行模拟上课，以及撰写自己的心得体会．（5）最后，研究者对职前教师逐一进行访谈，访谈的主要目的是为了解他们的无理数教学知识是否出现了变化？有什么变化？这些变化是否属于数学史的影响？等等．访谈过程结合他们的模拟教学视频和教学设计，以帮助访谈者进行刺激回忆．
3.2研究结果
通过对职前教师的访谈，以及他们前后两次教学视频和教学设计的对比发现，职前教师在了解无理数发展历史前后教学知识的变化情况存在较强的一致性，但是在变化强度方面存在较大的区别。数学史对职前教师无理数教学的一般内容知识（CCK，主要指学科的本体性知识）和专门内容知识（SCK，指分析和解释学科内容的知识，包括掌握多种解题方法、能解释解题过程、分析错误原因等）有所影响，但变化不大．例如有部分职前教师是通过数学史的学习，才知道了可以用反证法来证明2是无理数；也有部分教师通过数学史才了解无限不循环和两数不可比之间的联系．当然，也有部分教师是在这之前就知道了．相比较而言，在无理数教学的水平内容知识（HCK）方面，职前教师的变化更大一些．教师的水平内容知识指教师能用联系的视角看待数学，了解数学概念在不同阶段的发展情况．在接触实数数学史知识前，职前教师对实数的认识还是孤立的．例如在教学的开始阶段，他们一般就会向学生介绍什么是无理数，进而用大量的时间来说明实数的分类，如何在数轴上表示实数等练习性内容．而在了解了无理数的发展过程以后，职前教师改变了这种认识，他们从历史中知道了无理数概念的产生是社会发展的必要、无理数名称的由来、历史上无理数的各种定义、无理数和有理数个数的比较等，并都意识到只有从根本上理解了无限不循环，才能更好地理解无理数．从职前教师的访谈和教学反思中可证明他们的这种变化．从历史中可以知道无理数的存在是因为它是有用的，因此教学中除了通过数轴说明无理数是存在的以外，还要指出无理数的价值，而不能很快地给出这个定义（PT6）；以前只知道有理数不够用了，产生了无理数，但是不知道无理数的产生经历了这么曲折的过程，而且最后竟然发现无理数比有理数还多（PT2）；原来无理数有这么多的定义，但是还是现在书上的那个定义最好记（PT4）；听了课以后才知道无理数和有理数名称的来历，无论这部分内容要不要对学生说，教师自己掌握这些知识都是十分必要的（PT1）．由此可看出，通过对无理数发展历史的了解，职前教师知道了无理数存在的必要性，无限不循环的特点；了解了无理数的产生除了需要有理数的知识基础以外，还需要分割理论，等等．这些都说明了，无理数的历史帮助教师了解了无理数与其它知识点的联系，属于水平内容知识的范畴．（2）数学史对教师教学内容知识的影响．研究发现，与学科内容知识相比，数学史对职前教师无理数教学的教学内容知识有着更大的影响，尤其是在内容与教学知识（KCT）和内容与学生知识（KCS）这两个方面．内容与教学知识是教师的数学知识与教学知识两者的综合体，具体体现在教师能根据不同的数学知识，设计合适的教学方式，选取合适的例子和练习题．从研究情况看，在数学史课程前，职前教师大多都是严格按照教材上的顺序进行教学设计，对教学方式的优缺点也没有深入的思考．但是在了解了相关的数学史内容后，他们都意识到无理数的发展不是一蹴而就的，是在长期的发展中逐步完善的．因此教学的设计不能过于简单，而应该由易到难逐步递进，需要对教学的重点和难点做更多的设计．因此，都在新的教学设计中增加了例子，或者具有数学文化背景的教学内容．教学中不仅更加重视了对学习无理数必要性的强调，还针对学生可能存在的疑虑进行了强化．例如，在研究中职前教师发现，无理数是无限不循环小数这一论述的理解是教学的难点，学生对“无限”过程中是否一直都会“不循环”会存有疑虑．因此在后期的教学中，多数职前教师融入了阿基米德的反证法，用较为通俗的语言向学生介绍了2是无理数的证明过程．这不仅可以很好地消除学生的疑虑，突破教学难点，也在一定程度上体现了数学的严谨性．内容与学生知识是教师关于学生学习特点和知识基础，以及所教学的知识点的类型、难度等方面的综合体，包括教师能估计学生可能的想法，可能遇到的困难等方面的知识．在了解无理数的历史以前，职前教师的教学设计较为单一，教学内容和教学过程大多以教科书为参照。在简单演示2的无限循环性后，提出了无理数的概念，然后做练习．访谈表明，职前教师之所以这么设计，是因为他们觉得无理数概念比较简单，学生应该能会比较容易理解．但是，在了解了无理数的相关历史以后，职前教师意识到无理数是经历了一千多年才被大家所接受，要学生很快理解无限不循环的含义是比较困难的，有必要减缓教学的坡度，增加理解性的内容或题目，此举让他们的教学设计更加合理．职前教师的访谈和教学反思都证明了他们的这一变化过程．例如PT4认为，原来对教学想的太简单了，以为用课本那个表格，可以让学生理解2就是无限不循环的，从而接受无理数的概念，现在看来这种方式可能不太行，即使学生不反对无限不循环这种说法，他们的认知里并没有真正理解这一过程；PT2认为，原来把学生想的太理想化了，认为他们应该很快就能接受无理数的概念，现在看看无理数被人接受经历了如此长期曲折的过程，要让学生很快理解无限不循环就太不现实了，应该设置一些情境，用例子来辅助说明，最重要的是要把无限不循环的这个特点讲得清楚；PT6认为，原来的教学设计即使学生课堂上知道了什么是无理数，也属于死记硬背，缺乏理解很快就会忘记的，从历史中可得知要学生理解无理数的概念，应该让学生充分地理解无理数的无限不循环，而不能简单地抛出概念，然后要求他们不停地计算、解题．由此可看出，职前教师从无理数的发展历史中得到了借鉴，对无理数的教学有了更深刻的认识，认为对于无理数的概念不能简单地一笔带过，应该创设情境，让学生充分地理解无限不循环的过程．可以说，数学史对职前教师无理数的教学内容知识产生了较大的影响．但是，研究中也发现，数学史对个别职前教师（PT7）的内容与课程知识（KCC）产生了负面的影响．内容与课程知识指教师要了解数学内容在不同年级的课程中的出现顺序以及难度等信息的知识．无理数的发展史上，毕达哥拉斯学派发现了毕达哥拉斯定理后，发现了直角边为1的等腰直角三角形的斜边长度无法表示成两个数之比，导致了无理数的产生．受到这段历史的影响，研究者发现有职前教师利用勾股定理引出无理数2，这与教材中内容出现的次序是相悖的．因为在教材中，学生是先接触无理数，此后才学习勾股定理的知识．由于历史和课程教学内容的安排并不是完全不一致的，导致了数学史对个别职前教师无理数的内容与课程知识有了负面的影响．由此可看出，数学史对教师教学知识的影响也可能是负面的，尤其是在知识点的历史发展顺序和知识点在教科书中出现的次序不一致的时候．
4研究结论
通过研究，发现数学史对职前教师无理数教学的学科内容知识有影响，但是幅度不大．对一般内容知识没什么影响，在专门内容知识方面虽然有所促进，例如能正确的解释并证明2是无理数，但是还不能认为其有本质上的提升．只在水平内容知识方面有了一些提升，主要表现为了解了无理数和有理数的名词来源，能用联系的观点看待无理数知识，也了解了无理数和高等数学之间的联系，但是幅度还不大．而数学史对职前教师无理数教学的教学内容知识有了较大提升，尤其是在内容与教学知识和内容与学生知识这两个方面．这主要体现在，职前教师从无理数的发展历史中意识到知识点是经历了漫长的发展才逐步完善，才逐步被人所接受，学生要理解无理数不会那么容易，应该在概念的呈现中优化教学设计，通过创设情境、展示不同例子，或者增加具有数学文化背景的内容，让学生更好地理解无理数，而不是简单地引出概念后重复各种课堂练习．研究还发现，数学史对个别教师无理数的内容与课程知识产生了一些负面影响，这主要是由于教材中知识点出现的次序和历史发展不完全一致引起的，后续研究需要引起重视．但是这点并不能掩盖无理数的发展历史有助于提升职前教师的无理数教学知识这一研究结论．从研究中可看出，了解知识点的历史，教师不仅可以扩大知识面，加深学科知识的理解，还可以从知识点的历史发展中，更好地判断学生接受知识点的难易度，从而让教学设计更加合理．一些历史素材可以直接或者间接作为教学素材呈现给学生，提升课堂的文化品味．数学史是一座大宝藏，如果认为数学史仅仅是可以让教师在课堂教学中讲一些数学故事，激发学生的学习兴趣，这种认识是十分片面和狭隘的．研究表明，数学史可以提升教师的教学知识，促进教师的专业发展．让教师的教学更有自信，也能更好地实现“立德树人”的教育目的．研究也说明了，在教师教育中开设数学史课程，从教学的视角向职前教师阐述数学的发展历史是十分有必要的。
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对数学教学的理解篇3
关键词：数学教学；理解型；课例设计
教学过程是一个教师对知识的传授和学生对知识的学习和理解的过程。在数学教学过程中，理解是一个内在的教学品质。教师在课堂教学中采取各种手段和方法，从而帮助学生正确地、积极地对知识进行理解。
一、数学理解型教学的含义
教学活动往往是以学生掌握的旧知识为基础，然后再向学生传输新的知识体系。数学理解型教学可分为三个层面：一是理解性教学。在数学教学过程中，其基本属性就是理解，也可以说理解是数学学习的重点。在数学学习中，有悖于通常所说的“熟能生巧”，虽然数学学习中的一些简单技能可以通过多次训练而掌握，但是对于较为复杂的技能，尤其是一些较为高级的技能，只有在理解后才能够充分地掌握。因此在数学教学过程中要为学生学习的理解型创造良好的条件。二是数学理解。要学会数学理解，就要站在数学的角度对问题进行思考、观察和处理。三是为理解而教。在数学教学中，理解是最基本、最重要的目标。实际上，作为数学教学目标的理解在教学课程标准中的表述是十分明确的。例如课程标准中明确地将学生要学习的知识技能分成四个层次：了解、理解、掌握、灵活运用，然而理解仅仅是对知识技能目标进行了刻画。
数学理解型教学是为了帮助学生在获取新知识的过程中，引导学生对所学知识的意义进行构建，然后在此基础上对世界的意义进行理解，并对各种现象做出解释。
二、课例设计分析
数学理解型教学的组织和开展是以理解为中心来完成的。教师在教学过程中通过理解型课例的设计，从而使学生能够进行自主的探究学习，并在学习过程中通过相互交流学习，在理解的基础上对知识进行构建，并理解知识的意义。在数学课堂教学过程中，理解是对知识技能的个性化分析，也是一种自我实现的行为，同时不能脱离社会环境和物理环境的互动。数学理解型教学的基本环节可分为：真实性任务的创设；解决问题；合作交流，从而自动形成理解；最后进行评价反馈，使数学理解能够更加深化。
数学教学的基本形式就是解决问题。数学问题的解决可为机械性，也可为理解性。采用常规的解决方法有利于学生基础技能的掌握，但是对问题的理解没有较大的贡献。要产生理解，就需要将问题的解决过程转化成学生积极的思维活动，使问题的解决成为理解性活动。在此依旧以镶嵌为例：首先要理解镶嵌的含义，感知实例（如图）。其次，形成假设，进行实验探究，让学生分析正三角形，正五边形以及正六边形是否可以进行镶嵌，为什么。在这个过程中强化学生的理解能力和学习的积极性，提高学习效率。
学生在解决问题过程中进行相互合作交流，进而形成自动的理解过程。在问题解决之后，教师对学生的问题理解性解决过程进行评价反馈，深化数学理解。
在整个数学教学过程中，数学理解型教学的核心是对学生学习环境的创设，从而使学生可以有参与思维和行动的机会，并从中学会该怎样理解，为数学学习创造良好的条件。
参考文献：
对数学教学的理解篇4
笔者在教学实践中，逐渐摸索出了一套函数图像变化的螺旋式上升的教学方法，它能使学生逐渐理解函数图像变化的数学本质，形成高中函数和方程图像变化的统一认识，实践证明学生是容易接受的．这可以分成五个发展阶段．
1直观感知
初中对函数图像平移变化的初步学习只能限于直观感知水平．
2对称关系数学本质的认识
在学习新课程人教A版必修一的函数章节时，可以精心设计一系列的问题来引导学生逐渐认识函数图像对称变化的数学本质．
2．1奇偶性的教学设计
(1)要求学生对函数y=x2描点、画图，观察其对称性，并进一步引导发现其性质：对任意的
x∈R，都有f(－x)=f(x)．
(2)质疑：如果反过来，函数f(x)具有性质f(－x)=f(x)，其图像一定会关于y轴对称吗？
(3)直观验证：举例（如函数y=x2+1x2）并用几何画板作图演示，使学生直观感知其对称性．
(4)质疑：为什么有f(－x)=f(x)的性质，函数f(x)的图像就会关于y轴对称？
分析：先例举一些具体的对称点，丰富学生的感性认知，然后提高到下面的理性认识：f(－x)=f(x)函数f(x)图像上的任一点P(x,f(x))关于y轴的对称点P′(－x,f(x)=f(－x))也在f(x)的图像上函数f(x)的图像关于y轴对称．
这体现了由函数图像上微观的一般点的性质来推断函数图像的整体性质的数学思想方法．
(5)引出偶函数的定义，强调前提条件是定义域关于原点对称．
(6)练习、巩固：判断下列函数是否为偶函数？（题略）．其中安排一个函数f(x)=x3的判断，用以作为下一个问题的引例．
(7)质疑：函数f(x)=x3具有性质f(－x)=－f(x)，它是否也有对称性呢？
引导学生类比偶函数进行推导，然后还要通过几何画板作图演示等方法来丰富学生的感性认识．
上述教学体现了由感性升华到理性，理性推导的结果再通过感性的体验来巩固的设计思路．
2．2引申推广
教学完函数的奇偶性后，可以进一步质疑：如果函数f(x)图像上的任一点P(x,y)关于直线x=a的对称点P′(2a－x,y)也在f(x)的图像上，则f(x)具有怎样的几何和代数性质？由此得出：f(x)=f(2a－x)f(x)的图像关于直线x=a对称．
2．3两对称和自对称
(1)在学习指数函数，研究了函数y=2x与y=(12)x的对称关系后，进一步质疑：如何推出与下列函数关于y轴对称的函数？
①y=x+1；②y=x2+1；
③y=x2－2x+1；④y=2x+1
分析：应用一般点的对称性来推断函数图像的对称性的方法，得出，
因为P(x,y)P′(－x,y)
所以y=x+1y=(－x)+1=－x+1（两对称）
y=x2+1y=(－x)2+1=x2+1（自对称，即偶函数）
y=x2－2x+1y=
(－x)2－2(－x)+1=
x2+2x+1（两对称）
y=2x+1y=2－x+1（两对称）
推出结果后，再用几何画板作图验证．
(2)在学习对数函数，研究了函数y=logx2与y=logx12的对称关系后，进一步质疑：
A．如何推出与下列函数关于x轴对称的函数？
①y=x+1；②y=x2+1；
③y=x2－2x+1；④y=2x+1
B．如何推出与下列函数关于原点对称的函数？
①y=x+1；②y=x2－2x；③y=logx2；
④y=1x（自对称，即奇函数）
C．如何推出与下列函数关于直线x=1对称的函数？
①y=x+1；②y=x2－2x；
③y=logx2；④y=2x
解：因为P(x,y)P′(2－x,y)
所以y=x2－2xy=(2－x)2－
2(2－x)=x2－2x（自对称）
y=logx2y=log(2－x)2（两对称），其余略．
通过这一系列对象、形式的变化，而数学思想方法不变的问题的研究，学生可以透彻地理解和掌握函数图像对称的数学本质以及根据一般点的对称性来推断函数图像的对称性的方法．
3坐标变换
3．1解惑
在必修四的三角函数y=Asin(ωx+φ)的多媒体直观演示得出结论后，进一步质疑：为什么是这样的结论？x与y怎会呈现相反的变化呢？
y=sinx向左平移2个单位y=sin(x+2)；
y=sinx横坐标缩小为原来的一半y=sin2x
y=sinx向上平移2个单位y=sinx+2；
y=sinx纵坐标扩大为原来的2倍y=2sinx
分析(1)：遵循前面对称关系的方法．例如，因为P(x,y)向左平移2个单位P′(x－2,y)，所以如果点P在函数y=sinx的图像上，则当x′=x－2时，y′=sin(x′+2)=sin(x－2+2)=sinx=y，即点P′在函数y=sin(x+2)的图像上．
分析(2)：用坐标变换法更加简明．例如，对函数y=sin(x+2)+2，先转化为y－2=sin(x+2)，再设x+2=x′y－2=y′，则把y=sin(x+2)+2转化成最基本的简单函数y′=sinx′，且x=x′－2y=y′+2，两函数间的坐标变化关系就显而易见了，并由此可知x、y的变化原理实质是相同的．
3．2应用
对函数y=2sin(2x+π3)－1，先转化为y+12=sin(2x+π3)，再设2x+π3=x′y+12=y′，则把y=2sin(2x+π3)－1转化成最基本的简单函数y′=sinx′，且x=12x′－π6y=2y′－1，所以应把函数y=sinx图像上所有点的横坐标缩小为原来的一半，再向左平移π6个单位．又因为x=12(x′－π3)，所以还能采取先向左平移π3个单位，再把图像上所有点的横坐标缩小为原来的一半的方法．
3．3统一
函数图像的对称变化也可以使用坐标变换的方法．例如，对函数y=－e－x，先转化为－y=e－x，再换元，设－y=y′－x=x′，则把－y=e－x转换成最基本的简单函数y′=ex′，且y=－y′x=－x′，所以y′=ex′图像上的点P′(x′,y′)和y=－e－x图像上的对应点P(x,y)关于原点对称，以致两函数图像关于原点对称．
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所以，函数图像变化的实质是对应点坐标的变换，可以使用坐标变换来研究所有的函数图像变化的问题．要注意的是，如果出现了函数变量符号的变化，则发生了对称变化，直接用对称点的变化来研究函数图像的对称变化有时会显得更加方便．
4函数和方程图像变化的统一
学习完圆锥曲线的标准方程后，可以进一步研究此类方程(x+1)216±(y－2)29=1，y+2=4(x－1)2与其对应的最简标准方程的图像的关系．
只要使用坐标变换，这类问题都轻松解决．例如，对抛物线y+2=4(x－1)2，可设x－1=x′y+2=y′，即可得y′=4x′2，且x=x′+1y=y′－2．显然，只要把抛物线y=4x2的图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位就可以得到y+2=4(x－1)2的图像．抛物线y′=4x′2的焦点为F′(1,0)，由坐标关系x=x′+1=1+1=2y=y′－2=0－2=－2，就准确无误地推出抛物线y+2=4(x－1)2的焦点为F(2,－2)．
坐标变换还是求动点轨迹方程的一种常用方法．例如，已知定点A(4,0)，点B在圆x2+y2=1上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．可设M(x,y)、B(x′,y′)，则有x′+4=2xy′+0=2yx′=2x－4y′=2y，代入x′2+y′2=1得(2x－4)2+(2y)2=1，化简得(x－2)2+y2=14，即所求动点M的轨迹方程．
至此，函数与方程图像的变化已完全统一为坐标变换（或言变量替换），学生对图像的变化达到了融会贯通的掌握，即使对下面的高考题，学生也容易做出．
（2004年，上海，理15）若函数f(x)的图像可由函数y=lg(x+1)的图像绕坐标原点O逆时针旋转π2得到，则f(x)等于（）．
（A）10－x－1（B）10x－1
（C）1－10－x（D）1－10x
分析：设点P′(x′,y′)是函数y=lg(x+1)的图像上任一点，其绕原点O逆时针旋转π2后得到点P(x,y)，点P必在y=f(x)上，则x=－y′y=x′y′=－xx′=y，代入y′=lg(x′+1)，整理得
y=f(x)=10－x－1．
5二阶矩阵与几何变换
高中数学新课程的选修ⅠC由13个专题组成，其中选修4-2是“矩阵和变换”．在这个专题，可以学习利用二阶矩阵进行坐标变换，改进原来的坐标变换形式，并可进一步学习旋转变换．至此，高中学生对几何变换的数学本质和变换手段都有了比较全面的了解．
函数图像变化的螺旋上升式教学设计的主导思想是遵循学生的认知规律，逐步引导学生深入理解图像变化的数学本质，并以其数学思想方法的领会为核心的教学目的，所以要求所用的例子或练习题以简单为好，避免人为的繁杂，只要能体现图像变化的数学思想和方法就行．这样用一种数学思想为主线就把教材中零散的内容重新整合成一个系列发展的统一体，思想内容丰富了，学生对之有了融会贯通的理解，避免了死记硬背，他们的学习负担就不增反降了．所以，不适当地把学生的认识停留在直观感性阶段，不但丧失了“数学味”，而且可能导致机械学习而增加学生的学习负担．布鲁纳（1982）［1］曾提出一个为以往经验所证明的假设：“任何学科都能够用在智育上是正确的方式，有效地教给任何发展阶段的任何儿童．”所以只要能循序渐进、螺旋上升地精心设计好教学过程，同样可以使学生理解比较复杂、抽象的数学思想．
蔡上鹤［2］认为，数学课程改革的矛盾不在知识点的多少,我国数学教材的知识点在世界上是最少而考试是最难的，就是证明．我国中学数学难度高主要就是因为考试难以及数学教学在一些知识点上挖得太深了，而且许多是人为的技巧和繁杂，缺乏思想性，这是没有意义的．数学思想方法是数学的灵魂和精华，它应成为数学教学的一个出发点和归宿．
参考文献
1张奠宙等编．数学教育研究导引．江苏教育出版社，1998
对数学教学的理解篇5
关键词：中学物理课堂教学数学知识应用
在高中物理教学中，数学起着重要的推动作用，数学是解决物理问题的重要工具。将数学知识与物理教学紧密联系，对于优化物理课堂教学，提高物理课堂教学效果具有重要意义。
一、当前物理课堂教学中存在的问题
1.物理理论知识教学效率较低
物理学科中有许多物理知识具有很强的理论性。在物理实验教学中，学生对物理概念、原理等理论性较强的物理知识，理解难度较大，普遍存在物理理论知识学习效率低的问题。事实上，很多物理知识都可以用数学语言进行表述，教师应当在物理理论教学中注重运用数学知识，这对提高学生学习物理知识的效率是大有裨益的。
2.学生解决问题的能力不强
学生在物理学习过程中，解决问题的能力不强是一个重要问题。虽然学生已掌握了物理学科的理论知识，但由于没有深入地证明和讨论，往往只停留在表面认识上，在实践中，如遇到具体的物理问题时，就会显得捉襟见肘。物理学科是一门应用性很强的学科，新课程改革也致力提升教学的实用性，如果学生掌握的物理知识只停留在理论阶段，这就有悖于新课改的要求了，也不利于提高物理学习效率。物理与数学联系密切，许多物理问题都可转化为数学问题，将数学知识应用于物理课堂教学中，可以有效提升学生解决问题的能力。
二、数学知识对物理教学的积极作用
科学性、逻辑性、精确性是数学语言的特点，这与物理学科的抽象性、逻辑性特点相一致，数学知识对物理学科的学习发挥着重要作用。
1.有利于强化物理理论教学
教学中，合理运用数学知识不仅有利于提升学生对物理知识的认识，更有利于发现物理学科中蕴含的物理思想。由于物理学科的知识抽象性、逻辑性较强，单纯的文字描述往往会使学生难以理解，增加其学习难度，利用数学知识，将物理原理、概念等物理知识公式化，可以使物理知识简洁、具体，降低学生的学习难度，强化物理理论知识教学。
2.有利于解决物理学习中的问题
教学中，教师不但要让学生掌握基础理论知识，还应教会学生如何运用理论知识解决具体问题。教师要重视对学生物理解题能力和应用能力的培养。数学知识能够把物理学习中的原理、概念等公式化，为指导学生学好物理提供了一个新途径。另外，数学知识中包含着许多解题思想和方法，将数学知识应用于物理课堂教学，既有利于学生掌握物理解题技巧，又能提高物理知识的学习效率。
三、数学在物理教学中的应用实践
1.在物理理论教学中的运用
物理理论知识的深度和抽象性使得高中生学起来不是那么轻松。那么，教师在进行物理理论知识讲授时就必须注重数学知识在物理课堂教学中的应用，进而把复杂深奥的物理理论知识通过数学数字符号等简易化地体现出来，使得教师所讲授的内容更加通俗易懂。物理理论知识以这种形式表现出来，则更有利于教师理论知识的教学以及学生对知识的接受和掌握。在物理知识学习中，几乎所有的定律和公式都可以用数学形式来清晰、简明地表现出来，如牛顿定律、伽利略自由落体定律、电阻R、电场强度E等都可以通过数学公式来讲解，让学生在教师的带领下对各种物理量进行深入分析、探讨和研究，从而明白各个量的产生和各个物理定律的联系等，这种表现形式在物理理论知识的学习过程中是其他语言都无法代替的。由此，我发现，为了使学生能顺利地掌握教师所讲授的知识点和理论知识，把数学知识运用到该理论知识的学习中是必不可少的。这不仅对学生的物理知识学习极其有利，还使得物理课堂更具高效性。
2.在物理实验教学中的运用
物理知识的学习归根结底是离不开实验的，任何知识最终都要回归到实践中去。物理实验教学也离不开数学知识的具体运用。在进行物理实验时，如图像法、公式法等数学知识的运用都是必不可少的。这些数学方法的运用使得原本难以理解的物理知识以清晰、直观的形态呈现在学生眼前，从而使学生在操作实验时不再一头雾水。与此同时，在对物理实验进行总结、对比及研究之时，相关数学知识、数学工具的运用也是不可或缺的，这些工具的运用能够大幅度地提高物理实验结果的精准度。比如，在对电路图或力学进行分析时，若不将物理语言转换成图像，运用数学工具绘图的话，问题的解答将会变得十分困难，甚至无从下手。让学生运用数学工具进行物理图像的绘制，将会在很大程度上加强学生对物理知识的理解。
3.在问题解答中的运用
数学知识在物理学习中的灵活运用对于物理题目的解答大有裨益，很多物理题目若只是单纯地运用物理知识来解答，并不能拓宽解题思路，有些题目往往会让人感到无计可施。把数学知识灵活地运用于物理题目的解答中，这不单单是对高中物理教学提出的要求，更是物理教学的一部分。运用数学知识、数学公式来解题，如极值知识、代数知识、几何知识等都会让物理题目以相对直观的形式体现出来，能帮助学生寻找到更多的解题方法，解题途径会被进一步拓宽，思路也会更加灵活多变。数学知识在物理问题解答中的运用，使得题目的解答变得高效、简便，学生的解题速度也会有质的飞跃，教师和学生解决问题的实践能力增强，更好地适应了我国高中物理教学的新趋势。
四、结语
物理知识的学习不是一门单一的学问，它需要把数学知识融入其中，进行融会贯通地学习。把数学知识融入物理学习中，会使得整个物理教学和学习过程科学化、精准化、高效化、便捷化，对于物理课堂的高效起着巨大的推动作用，它优化了物理课堂的结构和效率，教师能把更多更深奥的物理知识以易于理解的形式教授给学生，这符合新课标对高中物理课堂教学所提出的新目标和新要求，是我们必须予以重视的一种教学方法。
参考文献：
[1]周庆平，李伶利.谈数学思维与物理教学[J].教育与职业，2006（17）.
[2]任妙娟，赵朋，张仲.数学物理方法的渗透式教学[J].科技创新导报，
2010（4）.
[3]王小伍.利用数学手段深化物理教学效果[J].教育教学论坛，2015（14）.
对数学教学的理解篇6
一、新课程改革后我们的数学课堂教学应更多的以学生为中心,教师应做好配角角色
高中数学课的课程和教学，必须构建在以学生的综合素质发展，主动发展和可持续发展学生的“平台”上。一节优秀的数学课，必须留给学生足够的时间和空间。同时，高中数学课的教学评价要围绕“促进学生全面发展”这一宗旨，关注学生在课堂上的学习活动状态，即学生的参与状态、交流状态和学习目标的达成状态，对学生在学习过程中表现出的情感、意志和人格等方面的发展及学生的需求、潜能等内容给予评价。评价的方法和手段要多元化，并让学生以主体身份参与教学的评价。
二、高中数学教学课堂上应加强数学文化的渗透,激发学生对数学的学习的兴趣
1、引入数学史
魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽（生卒年代不详）和刘徽（生卒年代不详）的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。三国吴人赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，对《周髀算经》做了详尽的注释,在《勾股圆方图注》中用几何方法严格证明了勾股定理，他的方法已体现了割补原理的思想。赵爽还提出了用几何方法求解二次方程的新方法。
唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪宋、元两代，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》（11世纪中叶），刘益的《议古根源》（12世纪中叶），秦九韶的《数书九章》（1247），李冶的《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259），杨辉的《详解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》（1274-1275)，朱世杰的《算学启蒙》(1299)和《四元玉鉴》1303等等。宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。
2、引入名人铁事
比如在公元462年，祖冲之请求宋孝武帝颁布新历，孝武帝召集大臣商议。那时候，有一个皇帝宠幸的大臣戴法兴出来反对，认为祖冲之擅自改变古历，是离经叛道的行为。祖冲之当场用他研究的数据回驳了戴法兴。戴法兴依仗皇帝宠幸他，蛮横地说：“历法是古人制定的，后代的人不应该改动。”祖冲之一点也不害怕。他严肃地说：“你如果有事实根据，就只管拿出来辩论。不要拿空话吓唬人嘛。”宋孝武帝想帮助戴法兴，找了一些懂得历法的人跟祖冲之辩论，也一个个被祖冲之驳倒了。但是宋孝武帝还是不肯颁布新历。直到祖冲之死了十年之后，他创制的大明历才得到推行.这样故事对学生很有启发性。
3、融入数学文化