探索勾股定理教案模板(精选5篇)

第3篇1

勾股定理

教学目标

1、了解勾股定理的推理过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理；

2、从实际问题中抽象出数学模型，利用勾股定理解决，渗透建模思想和数形结合思想；

3、通过研究一系列富有探究性的问题，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．

知识梳理

1．勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于_____的平方．

222如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a+b=c．（2）勾股定理应用的前提条件是在___三角形中．

222222222222（3）勾股定理公式a+b=c的变形有：a=c﹣b，b=c﹣a及c=a+b．

2222（4）由于a+b=c＞a，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．

2.直角三角形的性质

（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．

（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：

性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角___．

性质3：在直角三角形中，斜边上的___等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）

性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．

性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的___；

在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于___．3．勾股定理的应用

（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．

（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：

①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．

②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．

③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．

④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．

4．平面展开-最短路径问题

（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，_________．在平面图形上构造直角三角形解决问题．

1（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．

典型例题

1.勾股定理．

【例1】（2014•临沂蒙阴中学期末）已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）

A．21B．15C．6D．以上答案都不对．

练1.（2014秋•绥化六中质检）在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）

A．84B．24C．24或84D．42或84练2.（2014春•江西赣州中学期末）如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）

A．1B．C．D．22.等腰直角三角形．

【例2】（2014•鹰潭中学校级模拟）已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）

A．2B．2C．2D．2

练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余n﹣2n﹣1n

n+1部分展开后的平面图形是（）A．B．

C．

D．

3.等边三角形的性质；勾股定理．

【例3】（2014•福建泉州中学一模）以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）

2A．2×（）厘米B．2×（）厘米109

C．2×（）厘米D．2×（10）厘米

9练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为

．4．勾股定理的应用．【例4】（2014•福建晋江中学月考）工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cmB．C．80cm或D．60cm练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】（2014•贵阳八中期中）如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）

A．6cmB．12cmC．13cmD．16cm练6．（2014春•普宁市校级期中）如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．

A．4.8B．C．5

D．

随堂检测

1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定B．C．17D．17或

2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2B．：1：2C．1：1：2D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米B．15厘米C．12或15厘米D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树

米之外才是安全的．

5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为

m．

6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）

课堂小结

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________课后作业

1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5B．C．5或D．没有

2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cmB．cmC．5cm或cmD．cm

23．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c等于（）A．161B．289C．225D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12B．13C．16D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．

6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用

秒钟．

47．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是

cm．

8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是

米．

9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为

cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．

10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为

mm．

第1篇2

1.1探索勾股定理同步练习

注意：如果用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形

（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）

222222（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c=a+b，则△ABC是以∠C为直角的三角形

222222（若c>a+b则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c

一、填空选择题

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；

②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则S△ABC=________。

2、三角形的三边满足a2=b2+c2,这个三角形是______三角形，它的最大边是_____.3、如图，厂房屋顶的人字架是等腰三角形，若跨度BC=16米，上弦长AB=10米，则中柱AD=米，面积是_________米

4、四个三角形的边长分别是①3，4，5②4，7，8

1④31,41,51其中是直角三角形的是（）③7,24,252A上弦柱BD跨度C222

2A、①②B、①③C、①④D、①②③

5、如果线段a、b、c能组成直角三角形，则它们的比可以是（）

A、1：2：4B、1：3：5C、3：4：7D、5：12：1

36、一个圆柱状的杯子，由内部测得其底面直径为4cm，高为10cm，现有一支12cm的吸管任意斜放于杯中，则吸管_露出杯口外.(填“能”或“不能”)

二、解答题

7、如图，已知等边三角形△ABC的边长为2，AD⊥BC于D，求BC边上的高AD和△ABC的面积。

DCA

8、在△ABC中，CD是AB边上的高，AC=4，BC=3，DB=

9.

5A

(1)求AD的长；(2)△ABC是直角三角形吗？请说明理由.9、甲、乙两轮船于上午8时同时从A码头分别向北偏东23°和北偏西67°的方向出发，甲轮船的速度为24海里/时，乙轮船的速度为32海里/时，则下午1时两轮船相距多少海里？

10、如图所示的一块地，∠ADC＝90°，AD＝12m，CD＝9m，AB＝39m，BC＝36m，求这块地的面积.C

DB

11.如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm。当小红折叠

F

时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），想一想，此时EC有多长？用你学过的方法进行解释.（提示：AF多长？BF呢？FC？EF？）

ADE

B

思考题：如图：△ABC中，AD是角平分线，AD=BD，AB=2AC。求证：△ACB是直角三角形。

C

D

A

C

B

1.2能得到直角三角形吗

一、基础达标:

1.小红要求△ABC最长边上的高，测得AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，则可知最长边上的高是（）

A.48cmB.4.8cmC.0.48cmD.5cm.2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）

A.b2=c2－a2B.a∶b∶c=3∶4∶

5C.∠C=∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15.3.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）

A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，12.22

24.若一个三角形的三边长的平方分别为：3，4，x则此三角形是直角三角形的x2的值是（）

A.42B.52C.7D.52或7.5.如果△ABC的三边分别为m2－1，2m，m2+1(m＞1)那么（）

A.△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1；B.△ABC是直角三角形，且斜边长为2m；

C.△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定；D.△ABC不是直角三角形.6.以下数据为边长的三角形中，不是直角三角形的是（）

A.3，4，5B.8，10，6C.13，12，5D.3，6，7.7．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的()

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍8.在下列说法中是错误的（）

A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，则△ABC为直角三角形.B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，则△ABC为直角三角形.43C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，则△ABC为直角三角形.55

D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，则△ABC为直角三角形.9.有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（）

A．2，4，8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,12.10．将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数，.11．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为12.在△ABC中，∠C=90°,D为BC上的一点，且BD=AD=10，AC=6,求△ABC的面积.二、综合发展:

13．在边长为c的正方形中有四个斜边为c的全等直角三角形，已知它们的直角边长为a、b．你能利用这

个图形验证勾股定理吗？

14．铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D

两村庄（视为两

个点）DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在铁路上建一个土特产收购站E使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？

图-

215.如图，南北向MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A艇发现正东方向有一走私

艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

1.3蚂蚁怎样走最近

一、基础达标:

1．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B.800米C.1000米D.不能确定2．任意三角形的三条边必须满足________．

3.直角三角形两锐角，三边满足4.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=14，b=48，则c=________；②若a=8，c=17，则b=_______.5．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路米），却踩伤了花草．

6．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分S3，且S1=4，S2=8，则S3=____．

7．在△ABC中，∠C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要分的时间.8．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形发，以20cm/s

角走“捷径”，在（假设2步为

1别为S

1、S

2、演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=„„=A8A9=1，请你计算OA9的长.二、综合发展:

9．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，（）

7202

52024

24(D)

(A)

(B)

A.B.C.D.10.如图，在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为（）A.45mB.40mC.50mD.56m.(C)

第11题

11.如图，阴影部分是一个正方形，此正方形的面积为.

12.一透明的圆柱状玻璃杯，底面半径为10cm,高为15cm,一根吸管斜放与杯中，吸管露出杯口外5cm,则吸管长为___________cm.

13．如图，等腰三角形ABC的腰为10，底边上的高为8，（1）求底边BC的长；（2）S△ABC．

14．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

15．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为

AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？

12C

16．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与

AE重合，你能求出CD的长吗？

BA

第2篇3

《探索勾股定理》教学设计

嘴角上翘

一、教材分析

勾股定理历史悠久，是初中数学中非常重要的一个结论，称为"几何学的基石",在数学学习中有重要的地位。它是平面几何有关度量的最基本定理，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，学习勾股定理是进一步认识和理解直角三角形的需要，也是后续有关几何度量运算和代数学习的必要基础。因而勾股定理具有学科的基础性和广泛的应用。

二、学情分析：

八年级学生已经学习了三角形的一些基本知识；也经历过利用图形面积来探求数学公式过程。如探求乘法公式、单项式乘多项式法则、多项式乘多项式法则等。本节课在学生这些原有的认知水平基础上，探求直角三角形的又一重要性质——勾股定理。让学生的知识形成知识链，使学生已具有的数学思维能力得以充分发挥和发展。

但是这个年龄的孩子的思维偏重于直观。而勾股定理的探究方法虽然很多，但对于八年级的学生，如果直接让探究直角三角形三边之间的关系，学生大多会思考三边之间的一次关系，而较难想到三边之间的平方关系，可能会陷入较长时间的困惑，而且没有教师的指引可能最终都不能走到正确道路上来，为此，从特殊的等腰直角三角形入手，提出问题，课堂中，注重学生的动手操，引导学生从具体到一般，层层递进，引导学生亲历定理的产生和验证过程，作为以后相关知识的继续学习奠定良好的基础。

让学生经历勾股定理的探究过程，进一步丰富学生的数学活动经验，发展学生的推理能力，以及分析问题、解决问题的能力，同时感受勾股定理的文化价值。

三、教学目标：

1、让学生亲历"发现问题—提出问题—一解决问题"、从"特殊到一般"的过程，体会类比、转化、数形结合的数学思想和方法。

2、让学生经历实践操作、计算分析、拼图实验的过程，在过程中养成独立思考、合作交流的学习习惯；让各类型的学生在这些过程中发挥自己特长，通过解决问题增强自信心，激发学习数学的兴趣；通过老师的介绍，感受勾股定理的文化价值。

3、能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题

四、教学重点：勾股定理的探索过程和简单的应用

五、教学难点：勾股定理的探索过程

六、教学方法：小组合作、教师点拨

七、教学资源：教材、多媒体

八、教学准备：已剪好的若干个边长为整数的直角三角形、方格纸、几何画板课件

九、教学过程

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

一、发现问题

老师：同学们，我们在七年级已经学习过三角形的一些基本知识，我们也了解了一些特殊的三角形，你知道的特殊的三角形有哪些？

对于等腰三角形和等边三角形你知道些什么？直角三角形呢？边与边的关系呢？（课件出示）

老师提出问题，学生独立思考，同桌两人交流讨论，再由代表公布。

这是对特殊的两类三角形的回顾，从学生从原有的认知水平出发，揭示这节课产生的根源，符合学生的认知心理，也自然地引出本节课的目标。

二、提出问题

Rt△ABC中，∠C=90°，请问：边a、b、c之间有何关系？该如何研究？

（教师板书今天的研究目的）

提出问题，学生思考，该如何研究呢？测量？还是其他方法呢？

以问题串的形式，引发学生思考，测量后学生不能发现规律，进而引出研究问题的方法：可以从简单的特殊的入手。

三、如何解决

三、如何解决

三、如何解决

1、特殊入手——简单的问题1.已知Rt△ABC,∠C=90°

若a=b=1,你能写出含c的等式吗？

若a=b=2,你能写出含c的等式吗？

若a=1,b=2呢？

思考：

（1）（2）的条件有什么共同点？（3）的条件与（1）（2）有什么区别？

（1）（2）的结果有什么共同点？c2=2,c2=8能让我们想起什么？

学生难以得出时，老师给予适当的提示，可以从面积入手。

学生思考，并畅所欲言。

学生不难得出平方和正方形的面积有关系，所以引导学生利用面积来探求关系。

当老师拥有完美的方法解决问题的时候，学生好奇的不仅是老师解决问题的方法，学生更加关心的是老师是如何想到这一方法的，从特殊的简单的入手，是学生容易接受的。

让学生体会到当一般性的问题不好解决时，可以先将一般问题转化为特殊问题来研究。

从学生认知基础、已有的学习经验出发，将探求边长之间的关系转化为探求面积之间的关系，让学生觉得解决今天问题的方法并不陌生，增强探索问题的信心和欲望。

2、分析方法

问题：如何验证以c为边长的正方形的面积是否为2?

方法2.用网格1帮助

你能用上述方法验证问题（2）的结论吗？

思考：你有哪些方法知道正方形的面积为8?

问题：你能用上述方法帮助解决问题（3）吗？

思考：你有哪些方法知道正方形的面积为5?

教师引导，学生观察不难得出。

类比边长为1的等腰直角三角形在网格中得出斜边的平方为2的方法，学生不难想到在方格纸中利用面积得到。

当学生在方格纸上画出这个正方形后，采用补、拼、割的办法得出。

对于问题（3），当学生在方格纸上画出这个正方形后，让学生小组讨论交流，选代表发言。学生类比前面方法，采用割或者补的办法得出。

引导学生求这个正方形面积的方法可以又多种，拓展学生的思维。

让学生在问题（1）的启发下，得出方法，自己动手实践，体会成功的喜悦，激发内驱力。

展示学生的方法：割的方法，补的方法，平移的方法，旋转的方法，（旋转的方法是正确的，但是它只适应于斜边是整数的情况，况且学生在此时还不会计算斜边的长，因此这种方法没有一般性，如果学生有提到，教师应予以解释。）肯定学生的研究成果，进而让学生进行总结，把图形进行割和补，即把不能利用网格线直接计算面积的图形转化为可以利用网格线直接计算面积的图形。让学生体会数学的转化思想。

3、应用方法

问题1.（4）若a=2,b=3.你能求c2吗？

思考：你有哪些方法知道正方形的面积为13?

让学生自己在方格纸上画出直角边分别为2和3的直角三角形，类比前面的方法，得出c的平方。

通过此活动锻炼了学生动手能力，体现了活动数学的思想。同时也是对割、补方法计算正方形面积做了加深理解。

4、观察归纳

问题2.梳理上述四个问题的边长，并思考a、b、c之间有什么联系？

5、。验证结论

问题3.（1）在网格中能验证a2+b2=c2吗？

活动：在网格纸上任意画一个顶点都在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为边向外做出三个正方形，求出此时三个正方形的面积。

学生通过观察表格，初步得出猜想：a2+b2=c

2学生活动时，教师要积极的参与到学生活动中去，其中以斜边为边向外作正方形时，另两个顶点位置的确定是这一活动的难点，教师巡视是如果有学生在这两处存在问题的话，教师就以中国象棋马走日，连续走四次所形成的线路图给学生启发。

梳理四个问题，学生归纳总结，得出猜想，让学生初步得到直角三角形三边之间的关系猜想，为进一步的探索明确方向。

此活动是一个学生全面经历探究的过程，也是割和补的方法的再次应用，让全体学生再次感受转化思想，体验成功的乐趣。此时要给学生充分的时间，相信在同学们计算中学生会得到更多的一般情形，由此为归纳定理奠定基础。这样归纳的结果也更具一般性，学生们的印象也更加深刻。

让学生体会到更多的特殊情形，从而为归纳提供基础，这样归纳的结论更具有一般性，学生的印象也更深刻。

6、。结论一般化

（1）通过以上的实验、操作、计算，我们发现以直角三角形的各边为边所作的正方形的面积之间有什么关系呢？同学们还有什么疑问吗？

（2）网格有局限性，对于非整数边长的直角三角形，结论是否成立？

a、插入几何画板：

提问：在老师拖动的过程中，仔细观察，变化的是什么？不变的是什么？

b、学生拿出四个全等的直角三角形拼图。

学生留下思考时间，提出问题：我们画的都是格点三角形，直角边的长度都是整数，如果不是整数会不会成立？

问题激发学生进一步探究的兴趣。

让学生仔细观察，从而得出结论。

通过学生观察几何画板、亲自动手拼图、运算推演、互相交流，发现以直角三角形的各边为边所作的正方形面积之间的关系，由特殊到一般，使学生印象深刻，对于勾股定理的得出就水到渠成了，并让学生体会成功的乐趣。

引导学生从特殊到一般，发现直角三角形三边之间的数量关系。这一问题的结论是本节课的点睛之笔，应充分让学生总结，交流，表达。

四、归纳应用

1、归纳

（1）我们这节课是探索直角三角形三边数量关系。至此，你对直角三角形三边的数量关系有什么发现？

（2）直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c.那么（板书勾股定理内容，进而给出字母表达式，并给出勾股定理的几种表达式。）

我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，所以这个结论称为勾股定理。（如图1---5所示）（板书）其实这个结论早在公元前1000年被我国的商高发现并应用于测量土地，在国外，由于是古希腊的毕达哥拉斯于公元前500年发现的，所以此定理又称为毕达哥拉斯定理。

点出本节研究内容，也就是本节课题——探索勾股定理。

回顾思考：

1.怎样探索获得勾股定理的？

2.你体会到的数学方法有哪些？

之后教师梳理。

思考：

（1）勾股定理的使用条件是什么？

（2）有什么用？

给学生留有思考时间。

由学生用自己的语言概括自己所发现的规律。

学生突破本节学习目标。

课堂小结，让学生畅所欲言。

先让同桌之间相互说一说，再找同学分享给全班同学，其他同学不断补充，同学谈完后，老师梳理，强调：勾股定理只有在直角三角形中才成立。

让学生自己总结归纳，培养学生的语言表达能力，并了解学生所学。

渗透勾股定理的历史，让学生了解勾股定理历史渊源深厚，激发学生的爱国情怀和民族自豪感。

以这样方式引出本节课题，回扣了一开始提出的研究目的：直角三角形三边之间的关系，渗透勾股定理研究的是直角三角形三边之间的关系。

这样不仅引导学生回顾本节所学，并培养学生的语言表达和归纳能力，同时也让学生对本节的探索流程有了更深的理解和认识，为下一节课勾股定理的证明做好铺垫。

2、应用

（1）求下列图形中未知数x,y,z的值。

（2）求下列三角形未知边的长。

（3）已知等边三角形ABC的边长是6cm.求：

（1）高AD的长；（2）△ABC的面积。

学生独立完成，然后小组交流，每组派代表给出本组结论。

展示答案，学生互相评价，总结类型、方法。

充分利用课本上的习题，巩固新知。

通过对勾股定理的基本应用，让学生知道已知直角三角形三边中的任意两边，可以求第三边。

让学生有将知识内化为自己的知识结构的过程，教师巡视，对有困难的同学给予帮助，促进全班同学共同进步，体现面向全体的教学原则。

让学生有将知识内化为自己的知识结构的过程，教师巡视，对有困难的同学给予帮助，促进全班同学共同进步，体现面向全体的教学原则。

拓宽学生的思维，体会数学知识之间的联系，认识数学的转化思想。

一段紧张的探究和简单应用之后，给出一段关于勾股定理验证方法和文化价值的拓展，这样既激发了同学们的兴趣，又增加了课堂的愉快气氛。让学生感受到勾股定理的历史并了解一定的证明方法，增加了学生学习数学的兴趣。

五、达标检测

六、拓展视野

A组：（填空题）已知在直角三角形ABC中，∠C=90°

①若a=3,b=4,则c=________;②若a=6,c=10,则b=_______;③若c=25,b=15,则a=_______.B组：学了勾股定理后，小明和小丽遇到这样一个问题："在Rt△ABC中，如果a=3,b=4,则c=5."小明认为这个说法正确的，小丽觉得有问题，你觉得呢？并说明理由。

1、验证方法：古今中外，勾股定理的验证方法达500多种，上至总统下至数学爱好者。

2、文化价值：

（1）2002年国际数学家大会会标

（2）目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的"人.为此向宇宙发出了许多信号。如地球上人类的语言。音乐。各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议。发射一种反映勾股定理的图形。如果宇宙人是"文明人.那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。

对于A组，采用学生独立完成，出示答案，同位互换，互批，小组计分，当堂反馈。

B组，根据情况，可以适当引导学生解此题的思路。

一段紧张的探究之后，结尾给出一段优美的音乐，配以老师的解说，让学生的情感再次升华。

设计两组题目，尊重学生的个体差异。

B组题目可以拓宽学生的思维，体会分类讨论思想。

学生独立完成，出示答案，同位互换，互批，小组计分，当堂反馈。便于老师及时了解学生对知识的掌握情况，如果出现共性问题，老师要拿出解决方案，对于个别学生的问题可以在课后进行补差。

激发学生利用网络资源，课下继续探讨学习和研究，提高学生学习数学的兴趣。同时也活跃了课堂气氛，展现了勾股历史，激发学生热爱祖国悠久历史文化，激励学生发奋学习的情感.激发学生的民族自豪感，教师寄语

给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。

——高斯

同学们，学习知识的过程就是不断挑战，不断攀登的过程，相信我们通过自己的勤奋探索，一定会达到知识的最高峰！

第4篇4

学英语报社http://全新课标理念，优质课程资源·勾股定理

·教学目标

知识目标:掌握勾股定理的几种证明方法，能够熟练地运用勾股定理由直角

三角形的任意两边求得图

1紧接着再问学生：我们是通过测量的方式发现了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方或者说两小正方形的面积和大正方形的面积.这种做法往往并不可靠，我们能否证出两直角边为

3、4的直角三角形斜边是5.（目的：数学需要合情推理，但也要逻辑证明.通过此问题证明过程，关键是这里渗透了面积法的证明思想.）

三、自主探索、发现新知

为了解决好这个问题我们不妨把图19.2置于方格图中，计算大正方形的面积等于25.于是让学生计算大正方形的面积，但大正方形R的面积不易求出，可引导学生利用网格对大正方形尝试割或补两种方法解决.1(34)243425.方法一：将图2补成图3，则要求正方形的面积为：

2因此直角边分别为

3、4的直角三角形斜边是5即324252.

1方法二：将图2补成图4，则要求正方形的面积为：434125.2因此直角边分别为

3、4直角三角形斜边是5即324252.（目的：在方格图中利用割补的思想通过计算面积的方法证明了直角边分别为

3、4的直角三角形斜边是5即324252.为探索一般的直角三角形也有两直角边的平方和等于斜边的平方以及证明它的成立做好铺垫.）

此时老师提出问题：对于这个直角三角形满足两直角边的平方和等于斜边的平方，那么对于任何一个直角三角形都有这种关系吗？

通过以上探索，相信有学生能用文字语言概括猜想出一般的结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.符号表示为a2b2c2（a、b是直角边，c是斜边.）.教师要鼓励这位同学讲的好，敢于猜想是一种难能可贵的数学素养，这位同学用精确的语言叙述了直角三角形三边的关系，那么这一结论是否正确，怎样论证？

（目的：在学生的数学学习过程中，既要学会证明又要学会猜想；既要学会演绎推理又要学会合情推理.鼓励学生在讨论的基础上大胆猜想，能培养学生的探索创新精神.）

老师用多媒体将图2的方格线隐去得图5，设RtACB直角边为a,b

及斜边

c，试证明a2b2c2.通过与学生的合作交流，只要证明出斜边上的正方形的面积，等于两直角边上的正方形的面积和即可.有前面的证明过程，学生可以想到通过割补利用面积法进行证明.这个地方要留够充足的时间让学生讨论交流，证好的同学请上台来解释他是如何证明的.方案一：，用三个与RtACB一样的直角三角形将图5中斜边上的正方形补

1成图6，则Sc2(ab)24ab.化简整理得到a2b2c2.2方案二：用三个与RtACB一样的直角三角形将图5中斜边上的正方形割成1图7，则S=c2(ab)24ab.化简整理得到a2b2c2.Aa-bBC图7图6

教师介绍：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦.图7称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的.图19.2.8是在北京召开的2002

年国际数学家大会（ICM－2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就.此时，教师极力夸赞学生已成功探索出5000多年前人类历史

上的一个重大发现，真是太伟大了！a2b2c2，这就是赫赫有名的勾股定理（板书课题）.接着用多媒体展

示勾股定理的历史.图19.2.8

勾股定理史话

勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史.远在公元

前三千年的巴比伦人就知道和应用它了.我国古代也发现了

这个定理.据《周髀算经》记载，商高（公元前1120年）关

于勾股定理已有明确的认识，《周髀算经》中有商高答周公的话：“勾广三，股修四，径隅五.”同书中还有另一位学者陈子（公元前六七世纪）与荣方（公元前六世纪）的一段对话：“求邪（斜）至日者，以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日”（如图所示），即

邪至日＝2＋股2.这里陈子已不限于“

三、四、五”的特殊情形，而是推广到一般情况了.人们对勾股定理的认识，经历过一个从特殊到一般的过程，其特殊情况，在世界很多地区的现存文献中都有记载，很难区分这个定理是谁最先发明的.国外一般认为这个定理是毕达哥拉斯学派（Pythagoras，公元前580~前500）首先发现的，因而称为毕达哥拉斯定理.勾股定理曾引起很多人的兴趣，世界上对这个定理的证明方法很多.1940年卢米斯（E.S.Loomis）专门编辑了一本勾股定理证明的小册子――《毕氏命题》，作者收集了这个著名定理的370种证明，其中包括大画家达•芬奇和美国总统詹姆士••••阿•加菲尔德（JamesAbram

Garfield,1831~1881）的证法.美国总统詹姆士••阿•加菲尔德的证法如下：

1112S梯形＝a+b）＝a2abb2,222如图：因为111S梯形2abc2abc2.222a

b所以a2b2c2.勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理.例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率.据说4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差.勾股定理以其简单、优美的形式，丰富、深刻的内容，充分反映了自然界的和谐关系.人们对勾股定理一直保持着极高的热情，仅定理的证明就多达四百多种，甚至著名的大物理学家爱因斯坦也给出了一个证明.中国著名数学家华罗庚在谈论到一旦人类遇到了“外星人”，该怎样与他们交谈时，曾建议用一幅反映勾股定理的数形关系图来作为与“外星人”交谈的语言.这充分说明了勾股定理是自然界最本质、最基本的规律之一，而在对这样一个重要规律的发现和应用上，中国人走在了前面.方案三（教师介绍欧几里得证法）证明：证明：在Rt△ABC的三边上向外各作一个正方

形（如图8），作CN⊥DE交AB于M，那么正方形被分成两个矩形．连结CD和KB．∵由于矩形ADNM和△ADC有公共的底AD和相等的高，∴Ｓ矩形ADNM＝2Ｓ△ADC

又∵正方形ACHK和△ABK有公共的底AK和相等的高，∴Ｓ正方形ACHK＝2Ｓ△ABK

在△ADC和△ABK中

∵AD＝AB，AC＝AK，∠CAD＝∠KAB

∴△ADC≌△ABK

由此可得Ｓ矩形ADNM＝Ｓ正方形ACHK同理可证

图8

Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形BCGF

∴Ｓ正方形ABED＝Ｓ矩形ADNM＋Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形ACHK＋Ｓ正方形BCGF

即a2b2c2.（目的：在勾股定理的发现过程中，充分鼓励学生不同的拼图方法得出不同的验证方法，帮助学生自主建构新知识.另外要介绍学生所拼的图7就是古代的弦图，也是在北京召开的2002年国际数学家大会的会标，进一步激发学生的成就感.让学生充分体验到探索创新所带来的成功的喜悦.）

四、应用新知、解决问题

例1如图19.2.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）

解在Rt△ABC中,∠ABC=90゜,BC=2.16,CA=5.41，根据勾股定理得

ABAC2BC25.4122.16

2≈4.96（米）

答：梯子上端A到墙的底端B的距离约为4.96米.图

19.2.4例2（趣味剪纸）如图两个边长分别为4个单位和

3个单位的正方形连在一起的“L”形纸片，请你剪两刀，再将所得到的图形拼成正方形.（目的：本段内容主要通过教师启发引导，学生共同探究完成，一方面让学生感受解决问题的愉悦与强烈的成就感，培养学生动手能力和学习兴趣以及加强对勾股定理的理解.另一方面让学生知道：（1）勾股定理应用的前提条件（在直角三角形中）；（2）已知直角三角形的两边会用勾股定理求第三边.）

五、自我评价、形成知识

⑴这节课我的收获是.⑵我感兴趣的地方是.⑶我想进一步研究的问题是.（目的：通过这几个问题，可以很好的揭示学生新建立的不同的认知结构，也体现了不同的人学数学有不同的收获.把学习的权利交给学生，使学生体验做数学的乐趣.同时，把探究阵地从课堂延伸到课外，有利于充分挖掘学生的潜能.）

六、作业

⑴课本P104习题19.21，2，3⑵通过上网，搜索有关勾股定理的知识：如（1）勾股定理的历史；（2）勾股定

理的证明方法；（3）勾股定理在实际生活中的应用等.然后写一篇以勾股定理为

主题的小论文.（目的：巩固勾股定理，进一步体会定理与实际生活的联系.促进学生学知识，用知识的意识.新课程标准提倡课题学习（研究性学习），通过课题学习与研究更多地把数学与社会生活和其他学科知识联系起来，使学生进一步体会不同的数学知识以及数学与外界之间的联系，初步学习研究问题的方法，提高学生的实践能力和创新意识.）

·关于教学设计的几点说明：

1、这节课是定理课，针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课我准备以“问题情境-----实验、猜测-----验证、证明----实际应用”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论.让学生经历知识的发生、形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义.让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想；

2、由于学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的的不同，以及认知水平和学习能力的差异，所以在整个教学过程中，我都将尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，尽可能让所有学生都能主动参与，并引导学生在与他人的交流中提高思维水平.在学生回答时，我通过语言、目光、动作给予鼓励与赞许，发挥评价的积极功能；

3、探索定理采用了面积法，通过用割补两种方法对直角边为

3、4这一特殊直角三角形的斜边上的正方形的面积的计算，得到此直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.由此自然的过渡到对一般直角三角形三边关系的研究，当然也自然的用此方法证明了勾股定理.这种方法是认识事物规律的重要方法之一，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用；

4、本课小结也很有新意，通过这短短的几个问题，可以很好的揭示学生新建立的不同的认知结构，也体现了不同的人学数学有不同的收获.把学习的权利交给学生，使学生体验做数学的乐趣.同时，把探究阵地从课堂延伸到课外，有利于充分挖掘学生的潜能。

第5篇5

一，课题：勾股定理（八年级下册第十八章——勾股定理）

二，教学类型：新知课

三，教学目的：让学生了解勾股定理的产生及其内容。

四，教学方法：讲解法

五，教学重难点：如何引入勾股定理，如何让学生理解勾股定理的内容。六，教具：粉笔，直角三角板，画好网格的A4纸，正方形彩纸。

七，教学过程：1，引入新课：相传2500年前，大数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时发现家里的地板放映了直角三角边的某种数量，请同学们仔细观察书P72的图，看是否能发现途中隐藏的玄机？

2，讲解新课：我们能发现，图中，以等腰直角三角形的两直角边为边长的小正方形面积和，等于以斜边为边长的正方形的面积，因此我们大胆提出猜想，等腰直角三角形的三边之间有特殊关系：斜边的平方和等于两直角边的平方和。见书P73图。这即是我们的命题一：如果是角三角形的两直角边长分变为a，b，斜边长为c,那么a^2+b^2=c^2.那么我们如何验证命题的正确性呢？请拿出我们的两张正方形彩纸，按照书上给出的步骤进行折叠，并把中间的小正方形描画出来。我们所折出的四个全等三角形中短边长为a，长直角边长为b，斜边长为c，且斜边长即为新折出的正方形的边长。原来没有折叠前，两张彩纸的面积一共为a^2+b^2,折叠后的面积为c^2,但是折叠前后并没有改变其面积的大小，因此有a^2+b^2=c^2.这样命题就等到了验证。（这种方法是我国古代的数学家赵爽想出来的，同学们是否有其他方法来验证命题的正确性？）命题一就是我们所说的勾股定理。

3，小结：勾股定理的内容是什么？验证勾股定理的方法是什么？

4，巩固：我们来研究勾股定理在实际中是如何被利用的。有一个门框，宽3米，高4米，请问有个人拿了五米高的薄木板，请问他能否通过此门？若能应如何通过？若不能请给出理由。（能。运用勾股定理，3^2+4^2=5^2，把木板按照门的对角线放置就能经过此门）

5，作业：书P781，2，5，8题

八，思考：我们知道直角三角形一定满足勾股定理，那么满足勾股定理的三角形一定是直角三角形吗？你是否能找到满足勾股定理但不是直角三角形的例子呢？请同学们回家思考，明天给我答案。

探索勾股定理说课稿

探索勾股定理教学设计

勾股定理教案模板（共4篇）

勾股定理说课教案模板

勾股定理证明