概率积分法的基本原理范例(3篇)
概率积分法的基本原理范文篇1
汕头市金山中学林琪
条件概率是人教A版选修2-3第二章2.2.1的内容，是学生在已学习古典概型与几何概型的基础上又一类型的概率问题。条件概率是概率论中的一个重要概念，它是推导独立事件概率公式的前提，也是继续学习事件的独立性等概率知识的基础，正确理解概念是解题的关键，所以学好这一节，对后续概率的学习有着铺垫作用。而条件概率又是比较难理解的概念，在新课的讲授过程学生总会有这样或那样的疑惑。下面我就如何把条件概率这节课讲懂”，使学生真正把知识学好学透彻，浅谈我的一点见解。
1.寻找条件概率——狄青的100枚铜币
在我们生活的世界上，充满着不确定性，从流星坠落，到大自然的千变万化，从婴儿诞生，到世间万物的繁衍生息，都充满奇异的随机现象。我们能根据现在预测未来吗？或者一切都能心想事成吗？这可以从狄青的100枚铜币谈起。
话说北宋庆历、皇祐年间，大将狄青奉旨征讨侬智高时，来到桂林以南。当时南方有崇拜鬼神的风俗，于是，他拿了100枚铜币向神许愿，说：如果这次出征能够打败敌人，那么把这些铜币扔到地上，钱面定然会全部朝上。”左右官员都诚惶诚恐，力劝主帅放弃这个念头——因为经验告诉他们，这种尝试是注定要失败的。他们担心最终弄不好，反而会动摇部队的士气。可是，狄青对此概然不理，固执如牛。在千万人的注视下，他突然举手一挥，把铜币全部扔到地上。结果这100枚铜币的面，竟然鬼使神差般全部朝上。这时，全军欢呼，声音响彻山村原野。由于士兵个个认定有神灵护佑，在战斗中奋勇争先，迅速赢得了胜利。最后回师时，狄青的僚属们一看才发现那些铜币的两面都是一样的。
实际上，聪明的狄青便是注意到人们在观察随机现象时，往往过于相信自身的经验，而忽视了前提条件。对于狄青来说，100个钱面全部朝上，原本是个必然事件，但在别人看来，却是几乎不可能出现的。因此，观察一种现象，不能忽视它的前提。在一种前提下的随机事件，在另一种前提下可能成为必然事件。同样地，在一种前提下的必然事件，在另一种前提下也可能不出现。可见，前提不同的话，随机事件的概率可能发生变化。这也便是我们所要研究的条件概率。
2.初识条件概率——抽签先后概率一样？
抽签是生活常见的概率问题，也是条件概率中最常见的例子。抽签先后是否公平，也即各人抽到奖票的概率是否相等，大体有如下一些看法：
(1)先抽比后抽可能性大。第一人抽的时候，奖票还在；假如奖票被第一个人抽去了，那后面的人就根本不用抽了。
(2)后抽比先抽可能性大。先抽的人概率小，所以先难抽到奖票，而对第二个人来说，这时签纸总数减少了一张，所以抽中的概率变大。
(3)先后抽的可能性一样。当每个人抽完签之后都不看或者看了不声张，每个人拿到奖票的可能性是一样的。
这些疑惑估计不止学生存在，或许连一些大人也会觉得很奇怪。数学来源于生活，高于生活”，那如何让学生从数学的角度全面来理解此问题呢？实际上，这是与条件概率相关的内容，在此，我们可以借助概率的知识，提出以下问题。
例：假设三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三位同学无放回地抽取。
(1)可用什么模型来表述这个随机试验？
(2)最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？如何解释？
(3)如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？如何解释？
根据学生的生活体验和之前的概率知识，学生可以快速地得出答案，但至于为何是这样的结果，学生也只有一个感性认识。如果在此没有认真引导学生利用已有的知识进行分析，而直奔下一个主题——条件概率的概念，那会有欲速则不达的效果。因此，我把问题分成三个小问题，循序渐进，让知识在学生的最近发展区发生，使学生跳一跳”可以摘到桃子”。
大部学生都知道每位同学都有的概率抽到中奖奖券，可以想到利用古典概型来描述此问题，因此在求解事件的概率时的方法便是列出基本事件。分析如下：
若抽到中奖奖券用表示，没有抽到用表示，那么三名同学的抽奖结果可记为，用B表示事件最后一名同学抽到中奖奖券”，则，由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为。
而当第一名同学没有抽到中奖奖券的时候，则中奖只可能出现在另外两名同学身上，即能出现的基本事件只有，所以最后一名同学的中奖概率也变大为。用A表示事件第一名同学抽到中奖奖券”，则。这里，我们可以称此时的概率为在第一名同学没有抽到奖券的条件A下，最后一名同学的中奖B事件下的概率，记为。
这样，我们通过对抽奖例子的细致引导，可以使学生对抽签的概率有更全面的了解，也形成对条件概率的初步认识：每一个随机实验都是在一定条件下进行的，而条件概率是指当试验结果的部分信息已经知道的条件下进行的，即在原随机实验的条件下再加上一些附加信息。
另外借助抽奖的模型，学生可以明白在已知第一名同学没有抽到中奖奖券的时候，原来考虑的样本空间里的一些基本事件不可能发生，从而原来的样本空间缩小为可能发生的已知的条件事件A，而此时若要考虑B事件的发生概率，但只能在可能发生的事件A的基础来考虑。这可以帮助学生形成计算条件概率的基本方法，通过缩小样本空间来考虑。在此处由于抽签问题是古典概型，可以计算可能发生的基本事件数来求解，即。
3.理解条件概率——骰子中的学问大
一个概念的形成，单纯从一个例子是很难讲述清楚，特别是条件概率这个难理解的概念，会略显单薄。下面我们还可以从学生很熟悉的掷骰子的例子来说明。此例相对于抽签的例子有一个优点，便是相对复杂一点，但又有点熟悉。抽签的例子中事件B是事件A的子事件，在求解概率时，相对比较容易计算，而且不太懂的情况下，也能根据直观认识求解出结果。下面掷骰子的例子可以从多方面来帮助学生形成更深层的概念，而且还能帮助学生理清积事件与条件概率的关系，避免出现混淆。
例：投掷红、蓝两颗骰子，如果用x代表红骰子所得点数，用y代表蓝骰子所得点数，这个随机试验的基本事件空间可以怎样表示？
（1）事件A=蓝色骰子的点数为3或6”，则P(A)=________
（2）事件B=两颗骰子的点数之和大于8”，则P(B)=______
（3）事件C=蓝色骰子的点数为3或6且两颗骰子的点数之和大于8”，则P(C)=__________
（4）事件D=已知蓝色骰子的点数为3或6的前提下，两颗骰子的点数之和大于8”，则P(D)=___________
此问题在设置的过程中，充分考虑了学生的基础，从细处着手，前三个问题帮助学生回顾古典概型的概率求法以及积事件的知识，为下面学习新知识做好知识方面的铺垫。同时借助了坐标系来表示这个基本事件空间，数形结合解决此问题。
条件概率与积事件概率在概率论的运算或应用中容易混淆，这两种事件的概率既有本质的区别又存在一定的联系。对于条件概率和积事件概率，如果不能从本质上把它们的区别搞清楚，那么就会导致在解题或实际应用中常常把应属于积事件概率的问题错误地当成条件概率的问题，有时出现了错误还不易被发现。因此，在此设计了第（3）题的设计意图是让学生明确积事件的概念，为后面学习扫清障碍。为了让学生有深刻和形象直观的印象，我们还可以让学生用符号语言及图形语言来描述一下事件C。
第（4）题，可以引导学生类比之前抽签例子，从图形来得出只能在A可能发生的情况下来研究B的概率，利用缩小样本空间的观点来算概率。从这里可以看出条件概率实际上是仅局限于事件A这个范围，来考查事件B发生的概率，而事件AB则是在整个样本空间来考虑。此处类比两个概率的求解过程，体现了新旧知识的联系与区别，符合学生的认知规律，同时深化了对条件概率概念的理解。
同时还可以让学生借助此题，观察一下这三个概率之间的关系，得出条件概率的另外一种求解方法，即。由此得出条件概率的一般求解方法，适用于非古典概型。
由于本题比较有代表性，我们可以从中分析得出条件概率的相关性质。由之前的两个例子可以得出，如果学有余力的话，还可以借助本题，构造不同的条件来研究一下与之间的大小关系。如：事件A=蓝色骰子的点数为3”，事件B=蓝色骰子的点数为6”，此时。这样可以使学生对条件概率有更深层次的了解。
4.应用条件概率——生男生女概率一样？
在日常生活中，条件概率的应用还是比较广泛的。如：
例题：一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，你能算一下另一个小孩是男孩的概率有多大吗？
这个问题也是一个难点，可以让学生进行讨论，在交流中感悟知识，解决问题。不妨记基本事件空间为，A=其中一个是女孩”，B=其中一个是男孩”，下面把学生讨论的一些结果收集如下：
(1)容易受生物学知识干扰，得生男孩的概率是。实际上学生没有把题目读清楚，如果题目变成是已知这个家庭第一个小孩是女孩，问第二个是男孩的概率多大”，那当然是。但本题却是在已经有了两个小孩，在已经知道其中一个是女孩的条件下，求另一个小孩是男孩的概率，而且这一个女孩也不知道排行第几。
(2)利用缩小样本空间的方法，计算基本事件空间所含基本事件上出错，即把（男，女）与（女，男）视为同一个事件（一男，一女）。学生们自己找出问题所在：等可能性。
(3)利用定义求解时概率出错，即，，从而得出。问题出在：事件A实际为至少有一个是女孩”，在算A的基本事件时，如果直接借助挑出某一个是女生，则也是犯了与(2)同样的错误。当然把A的基本事件算成也是错误的，里面出现了重复计算的问题。至少”的问题正确的求解方法应该从正面分类或反面求解。
向学生传授概率知识，这无疑是概率课的重要任务。问题是如何把概率课讲懂”，使学生真正把知识学好。因此，从条件概率的教学过程中，要解决学生的疑惑，形成概念，教师要从多方面进行细致考虑，并非简单地把知识、公式告诉学生就行。概率知识有着独特的背景知识，所以在备课时要尽量发掘有关概论、定理、结论的发现过程，了解那些被写到科普文章里去的数学史料，如此节课的狄青掷100枚硬币的故事。在概念形成教学中，教师还必须让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，同时引导学生对认知结构中的新旧概念进行对比分化，并将新概念纳入到已有的概念系统中去。
数学新课程中，概率可以说是最让教师感到头疼”的内容之一。这个具有独特思维方式的领域既难教又难学，如何更好地照顾这个新生儿”，是广大教师将会一直思索的问题，前路漫漫，我们将上下求索……
参考文献：
概率积分法的基本原理范文
1什么叫“原子轨道”原子轨道，这是量子化学、结构化学中一个非常重要的概念，在研究微观粒子运动时经常要与其打交道。“这里所说的原子轨道与宏观物体的运动轨迹不同，它是指量子力学描述电子在原子核外空间运动的主要区域。”［1］这是一个明显的错误解释，原子轨道怎么会是一个运动区域呢？这正是想用经典力学的观点解释量子力学（量子化学）的现象，显然不行。那什么叫原子轨道呢？在量子化学中，处理一个多电子体系（包括多电子原子或多原子分子），我们往往采取的近似解法是轨道近似方法（或称单电子近似和电子独立运动模型）。在运用这种方法时，我们需要求解任意一个单电子的波函数ψi，即求解它的Schrdinger方程：此时，我们把原子中单电子的波函数ψi称为原子轨道。同理我们可以把分子中单电子的波函数ψj称为分子轨道［2～4］。因此即使对中学生，我们也应该把原子轨道粗略地解释为描述原子中电子运动状态的函数（波函数），它可用来描述电子在核外空间一定区域内出现的几率，而不能解释成电子活动的区域。
2电子云图
关于用小黑点描绘的电子云图（图1）。“用小黑点代表电子在核外空间区域内出现的机会，小黑点的疏密与电子在该区域内出现的机会大小成正比。”［1］这是一种很不准确的解释。其关键问题是没有分清楚几率密度与几率的概念。试问若区域A比区域B大，但区域B内小黑点排列得紧密些，那电子在A区出现的机会大还是在B区出现的机会大呢？上述的解释是没有分清楚几率密度和几率这2个重要概念的含义和关系。在某一微体积内，2者关系如下：其中｜ψ｜2代表几率密度，｜ψ｜2dτ代表电子在体积元dτ内出现的几率。对中学生可以采取如下近似解释：小黑点密度大的地方表示电子在那里出现的几率密度大，稀则表示几率密度小［5，6］。在电子云图上取2个面积相等的区域A和B来观察，若为立体图形，则取2个体积相等的区域来观察，则小黑点密度大的区域电子出现的几率大。对电子云图，这样的解释比较准确———单位体积内小黑点的疏密程度表示电子在原子核外单位体积内出现概率的大小。点密集的地方，表示在那里电子在单位体积内出现的概率大……［7］。
3关于Moeller记忆图［8］在讨论多电子原子结构时，涉及到核外电子的填充顺序，很多结构化学的教科书都给出了图2。国外教材称之为Moeller记忆图［9］，国内教材一般称为构造原理图［10，11］。而称之为“原子核外电子排布的轨道能量顺序”［1］，这是一个很不准确的称呼。因为电子填充顺序的经验表达式1s，2s，2p，3s，3p，4s，3d，……并不能真实地、准确地代表在各个原子中原子轨道的能量，它只能近似预测原子基态的电子构型及定性地解释周期表中原子的电子排布［12］。对不同的原子来说（其核电荷当然不同），原子轨道能量的顺序不一定相同，比如原子轨道能量与原子序数的关系如图3［13～15］：由图3也可以看出，原子序数不同的原子，有的是E4s＞E3d，有的是E4s＜E3d。尤其是多电子体系，原子轨道能量次序还和电子填充情况有关。例如，同为第四周期元素的K和Ni，K无d电子填充，E3d＝－0．64eV，E4s＝－4．00eV，即E3d＞E4s；而Ni有d电子填充，E3d＝－18．7eV，E4s＝－7．53eV，即E3d＜E4s；类似情况在第五、六周期元素还有［16］。
4晶体结构结晶化学是化学科学中内容极其丰富的一门学科。但迄今为止，学术界对结晶化学中的某些基本概念，如晶胞、晶系，布拉威格子等都还存在着一些不同解释和描述［17～20］，但对大多数基本概念、基础知识，学术界还是有共识的。
4．1密堆积中空隙种类在等径圆球的密堆积中把空隙分成2种类型［1］，如图4［21］。这种分类法不准确。一般把晶体中的空隙分为三角形空隙、四面体空隙、八面体空隙、立方体空隙等［22～24］。在一个密置层中只有一种空隙———三角形空隙。只能说如考虑其空间取向，有2种情况。否则的话，怎么讨论在立方ZnS中空隙的种类和个数呢？在立方ZnS（晶胞）中，可视S原子（或S2－）作立方最密堆积，形成2类空隙———四面体空隙（8个）和八面体空隙（4个），而Zn原子（或Zn2＋）填入其中4个四面体空隙（见图5），另外4个四面体空隙（未填微粒）与前面4个四面体空隙空间取向不同，但这8个空隙只能算一类———四面体空隙，故才会得出空隙填充率等于50％的结论。
4．2关于小球堆积方式的概念在描述堆积方式时用了一个模糊概念———立方堆积［1］。与立方晶胞有关的堆积方式一般说有3种：立方最密堆积（可抽面心立方晶胞），立方密堆积（可抽体心立方晶胞），简单立方堆积（可抽简单立方晶胞）。教材的表述应改为“简单立方堆积。”
4．3密堆积和晶格型式（或晶胞类型）间的关系“在称为干冰的二氧化碳分子晶体中，作为线型分子的二氧化碳在空间是以A1型密堆积方式形成晶体的”［7］。这段描述与其给出的干冰的晶胞的示意图［7］是矛盾的。关于CO2（干冰）的晶格形式有2种表述：CO2为线型分子，若晶胞中4个CO2分子的空间取向相同，则晶格型式为面心立方。且可认为CO2是以立方最密堆积（A1型）方式形成晶体的。但是，若晶胞中4个CO2分子的空间取向不同，则4个CO2分子各属于一套不同的等同点，故晶格型式应为简单立方晶胞，此时可认为CO2是以简单立方堆积方式形成晶体的。正如金刚石晶胞中有8个C原子，但分属于2套不同的等同点（因其空间环境不同），其中顶点和面心的4个碳属于一套等同点，而晶胞体内4个碳属于另一套等同点。我们只需取某一套等同点（如顶点和面心那一套）就能确定金刚石中碳原子的堆积方式和晶格型式（晶胞类型）———立方最密堆积（A1型）和面心立方晶胞，见图7。那么在不能确定干冰晶胞中，CO2空间取向是否相同时应怎么描述呢？潘道皑等采取了这种说法“形成了以分子的中心作立方密堆积排列；同时，CO2分子的轴平行于立方体体对角线。”立方体有4条对角线，即CO2分子属于4套等同点。其实质是在不考虑空间取向时，干冰可视为A1型密堆积，但实际上4个CO2分子的空间取向不同，只能视为简单立方晶胞。
概率积分法的基本原理范文
引言
随着计算机现代智能的高速发展，计算机已经完全融入我们的生活，甚至占据了重要领域，从国家核心科技到每个人生活的小细节，都离不开计算机的覆盖和使用。我们简单的在键盘上操作几个键，打出一系列符号命令，就能使计算机按照人类的要求，高速运行和进展，从而达到人力所不能达到的速度和正确率。
我们从小学习数学，数学是什么呢？数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。数学更多的是一种抽象的概念，是一门重要的工具学科。人类利用抽象的概念及一些固定的定律形成理论，而脱离实际应用的概念并不是人类发展学习的初衷，而是利用它们来指导实际，化抽象为实体。而计算机就由此演化。1946年2月15日界上的第一台计算机诞生在宾西法尼亚大学，主要运用于高倍数的数学运算。时至今日，计算机直接能识别的语言仍然是1、0二进制代码。
1计算机中所需要的数学理论
计算机学科最初是来源于数学学科本文由收集整理和电子学学科，计算机硬件制造的基础是电子科学和技术，计算机系统设计、算法设计的基础是数学，所以数学和电子学知识是计算机学科重要的基础知识。计算机学科在基本的定义、公理、定理和证明技巧等很多方面都要依赖数学知识和数学方法。计算机数学基础是计算机应用技术专业必修并且首先要学习的一门课程。它大概可分类为：
1.1高等数学高等数学主要包含函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及应用、空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、微分方程等。各种微积分的运算正是计算机运算的基础。
1.2线性代数线性代数主要包含行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值与特征向量、二次型等。在计算机广泛应用的今天，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。
1.3概率论与数理统计概率统计与数理统计包含随机事件与概率、随机变量的分布和数学特征、随机向量、抽样分布、统计估计、假设检验、回归分析等。概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科，通过学习概率论与数理统计，使我们掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论，初步学会处理随机现象的基本思想和方法，培养解决实际问题的能力。这些都是计算机编程过程中不可或缺的基础理论知识和技能。
2计算机编程中数学理论的应用
计算机的主要专业知识包括计算机组成原理、操作系统、计算机网络、高级语言程序设计、数据结构、编译原理、数据库原理、软件工程等。计算机程序设计主要包括如：c语言、c++、java、编译语言、汇编语言等编程语言的基本概念、顺序结构程序设计、分支结构程序设计、循环结构设计、函数、指针、数组、结构、联合以及枚举类型、编译预处理、位运算、文件等内容，掌握利用各种编程语言进行程序设计的基本方法，以及编程技巧。算法是编程的核心，算法的运用离不开数学，数学运算正是编程的基础。
计算机科学是对计算机体系，软件和应用进行探索性、理论性研究的技术科学。由于计算机与数学有其特殊的关系，故计算机科学一直在不断地从数学的概念、方法和理论中吸取营养；反过来，计算机科学的发展也为数学研究提供新的问题、领域、方法和工具。近年来不少人讨论过数学与计算机科学的关系问题，都强调其间的密切联系。同时，人们也都承认，计算机科学仍有其自己的特性，它并非数学的一个分支，而有自身的独立性。正确说法应该是：由于计算机及程序的特殊性，计算机科学是与数学有特殊关系的一门新兴的技术科学。这种特殊关系使得计算机科学与数学之间有一公共的交界领域，它范围相当广，内容相当丰富，很富有生命力。这一领域既是理论计算机科学的一部分，也是应用数学的一部分。
2.1计算理论是关于计算和计算机械的数学理论。主要内容包括：
①算法：解题过程的精确描述。②算法学：系统的研究算法的设计，分析与验证的学科。③计算复杂性理论：用数学方法研究各类问题的计算复杂性学科。④可计算性理论：研究计算的一般性质的数学理论。⑤自动机理论：以研究离散数字系统的功能和结构以及两者之关系为主要内容的数学理论。⑥形式语言理论：用数学方法研究自然语言和人工语言的语法理论。
2.2计算几何学是研究几何外形信息的计算机表示，分析和综合的新兴边缘学科，它是计算机辅助几何设计的数学基础。主要内容如：贝塞尔曲线和曲面、b样条曲线和曲面、孔斯曲面。
2.3并行计算问题是同时执行”多个计算问题。他的延伸学科有：并行编译程序、并行程序设计语言、并行处理系统、并行数据库、并行算法。
2.4形式化方法是建立在严格数学基础上的软件开发方法。软件开发的全过程中，从需求分析，规约，设计，编程，系统集成，测试，文档生成，直至维护各个阶段，凡是采用严格的数学语言，具有精确的数学语义的方法，都称为形式化方法。
2.5程序设计语言理论是研究书写计算机程序语言的学科。主要内容如：研究语法、语义、语用以及程序设计语言的优劣。