三角形三边关系范例(3篇)
三角形三边关系范文篇1
一、解三角形与判定三角形全等之间的关系
解三角形讨论的是三角形中的各种几何量之间的关系，如边、角、面积、外接圆半径和内切圆半径等之间的关系，而正弦定理和余弦定理是解三角形的主要工具。平面几何主要是从定性的角度研究三角形，解三角形主要是从定量的角度研究三角形中的各种几何量之间的关系，是用解析的方法研究三角形。两种研究角度不同，可以互补，相得益彰。
判定三角形全等的公理有：边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)。其中至少有一个元素是边，仅有三个角(AAA)对应相等的两个三角形相似但不全等。判定三角形全等条件的几何意义是三角形的其它变量可以用所给的一组变量表达。如，SSS公理判定三角形全等的几何意义是：ABC三边的长可以唯一地确定它的三个内角，如已知ABC的三边，可用余弦定理的推论，求得三角。SAS公理判定三角形全等的几何意义是：ABC的两条边的长及其夹角唯一地确定了第三边的长，进而唯一地确定了它的其余两条边长。如已知ABC的两边及其夹角C，可以用余弦定理求出第三边。这时，三边已知，可用余弦定理的推论求出其余两角。这正是余弦定理可以解决的两类问题：已知三边，求三角(SSS)；已知两边及其夹角，求第三边和其余两角(SAS)。
角边角(ASA)公理和角角边公理(AAS)借助三角形内角和定理，可以认为是实质相同的，其几何意义是ABC的两角和任一边可以唯一确定其余的角和边，如已知ABC的两角A，B和夹边c，可以求出这是正弦定理所能解决的一类问题：已知两角和任一边，求其余的边和角(ASA，AAS)。正弦定理还能解决一类问题：已知两边和其中一边的对角，求第三边和其余两角(SSA)。从几何意义上讲，SSA不能判定三角形全等，也就不能唯一确定一个三角形，表现在用正弦定理解三角形时会出现两解、一解和无解的情况。
从正弦定理和余弦定理的角度看，判定三角形全等的边角边公理(SAS)、边边边公理(SSS)、角边角公理(ASA)和角角边公理(AAS)是相互等价的。
由上可见，研读教材时，要从整体和全局的高度把握教材，了解教材的结构、地位作用和相互联系，使之相互诠释补充，产生新的见解。教学中，剖析透彻三角形全等的判定公理与解三角形之间的关系，可以完善学生的认知结构，将初中知识升华。
二、数学思想方法
数学思想方法的教学是数学教学中的重要组成部分，有利于加深学生对数学知识的理解和掌握，提高学生解决数学问题的能力。本节的两个主要结论是正弦定理和余弦定理，教学中应重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
在正弦定理部分，考虑到不容易直接得出一般三角形中边和角的关系，可以先引导学生在直角三角形中，考虑与边角有关的三角函数知识来发现这一规律，接着猜想这一规律的一般性，然后在锐角三角形和钝角三角形中进行证明，从而得出正弦定理，这一过程体现了由特殊到一般和分类讨论的数学思想。在锐角三角形和钝角三角形中证明结论时，也是通过作高将其转化为直角三角形进行证明，体现了转化与化归的数学思想。
在余弦定理部分，得出余弦定理后，分析余弦定理的形式并提出已知三边求角的问题，结合方程的思想得出余弦定理的推论，从数量化的角度刻画了判定三角形全等的“边、边、边”结论。在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中。提出了一个思考问题：“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系。如何看这两个定理之间的关系?”进而结合余弦函数的性质分析得出：余弦定理是勾股定理的推广，把勾股定理纳入到余弦定理的知识系统中，体现了从一般到特殊的思想。
正弦定理和余弦定理的应用，都通过两种不同类型的例题介绍。正弦定理主要介绍“角角边”和“边边角”两种类型，余弦定理主要介绍“边角边”和“边边边”两种类型，体现了分类讨论的思想。
三、数学知识之间的联系
正弦定理和余弦定理的证明和应用中涉及诸多数学知识，如向量、三角函数、解析几何等，教学时应予以注意。
正弦定理和余弦定理刻画了三角形中边角的数量化关系，与初中学过的三角形中边角的基本关系和判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，从初中所学的三角形全等出发，定性说明已知三角形两边及夹角则该三角形完全确定，从而提出问题：已知三角形两边及夹角能否定量计算第三边呢?最后，正弦定理和余弦定理落脚于解三角形，使初中学习的判定三角形全等的公理得到了理性化的解释。是定性到定量的升华，也可以说二者在这里找到了共鸣，融为一体。这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。
三角形三边关系范文
[关键词]三角形三边关系；自主探究；小学数学
[中图分类号]G623.5[文献标识码]A[文章编号]1007-9068（2017）20-0022-02
课堂教学是“教”与“学”的统一，随着课改的不断深化，教师越来越偏重于“学”的研究。这就要求教师把学习的主动权交给学生，让学生成为学习的主人。如何把学习主动权交给学生？我在四年级下册第五单元“三角形三边的关系”的教学中，尝试让学生进行自主学习，让学生先用三根小棒围三角形，使他们初步感知“不是任意三条线段都能围成三角形”，并引发学生的疑问：三角形的三条边之间究竟藏着什么秘密呢？从而激发学生学习和探究的兴趣。
一、在探究中初步感知三角形三边关系
没有探索就没有发现，没有发现就谈不上创新。
[教学片段1]
师：请拿出学习单和学具袋，把长16厘米的塑料小棒剪成三段（取整厘米数），剪完后量一量三条线段的长度分别是多少，看看能否围成一个三角形。请把操作结果填入下面的表格中。
学生把他们得到的几种情况进行分类：
能围成三角形的：（4、5、7）（5、5、6）（6、4、6）（3、6、7）（2、6、8）（3、5、8）（4、4、8）；
不能成三角形的：（3、4、9）。
师：看起来，随便拿三根小棒不一定能围成三角形。这里面藏着什么秘密？请仔细观察表格，比较三根小棒的长度，你们有什么发现？
生1：两条短边加起来比长边长，可以围成三角形。
生2：两条短边加起来比长边短，不可以围成三角形。
生3：两条短边加起来等于长边的长，也可以围成三角形。
生4：两条短边加起来等于长边的长，不能围成三角形。
师：三条边中，两条短边的长度之和大于长边，能围成三角形。大家同意这个结论吗？
生（齐）：同意！
师：三条边中，两条短边的长度之和小于长边，不能围成三角形。大家同意这个结论吗？
生（齐）：同意！
师：（2、6、8）（3、5、8）（4、4、8）这三组线段是不是真的能围成三角形？
……
对于教师提出的这个问题，学生都积极发表自己的看法与发现。认为这三组线段可以围成三角形的学生发现，得到这个结论很有可能是由剪线段时产生的误差引起的。对此，我采用“数形结合”的方式，配以课件演示：两条线段拼起来的长度是8厘米，与另一条长为8厘米的线段重合，没有一点空隙，不可能围成三角形。如此一来，学生不仅否定了之前的想法，还学会了用数学的方法分析问题和作出判断，思维更具有逻辑性。
在教学过程中，我让学生摆一摆、想一想、算一算。学生在探究中比较三角形三边的长度，又在比较中初步感知三角形三边的长度关系。在这个过程中，学生有足够的探索空间，实现了由特殊到一般的知识迁移。
二、在归纳中抽象概括三角形三边关系
通过操作和比较，学生总结出“两边之和大于第三边时，这三条线段能围成三角形”。显然，学生的思维方向已经从线段能否围成三角形转向所围线段长度的取值范围。当学生为发现三角形三边的关系而感到高兴时，有一位学生提出疑问：“既然两边之和大于第三边可以围成三角形，那么“4厘米、9厘米、3厘米”这三条线段也可以围成三角形吗？”这个问题的提出将课堂学习推向一个新高潮。
[教学片段2]
生1：因为4cm+3cm
师：只选其中两条线段来算就能判断出这三条线段不能围成三角形吗？
生2：不行！每两条线段都要算。
师：请观察黑板上的三条线段，如果这三条线段的长分别是a、b、c，它们在什么情况下能围成三角形？
生3：a+b>c。
生4：a+c>b，b+c>a。
师：谁能用一句话归纳这三个式子的意思？
生5：只要其中的两条边的长度和都比第三边长。
……
师（归纳）：任意两边之和大于第三边时能围成三角形。
探究和归纳的过程是学生进行举一反三的思维训练过程。学生经历了“感知―比较―归纳―抽象”的规律建构过程后，自然就理解了三角形三边关系。
三、在辩析中凸显三角形三边关系
[教学片段3]
教师给出判断题：下面哪组边能围成三角形：①（10、5、8）；②（5、5、5）；③（3、3、6）；④（2、3、8）。
对于①（10、5、8），学生很快就能判断出来。此时教师要引导学生思考：怎样判断更简便？学生发现：只需要选择较短的两条边相加，它们的和大于最长边，就可以判断这三条边能围成三角形。
对于②（5、5、5），让学生判断后想象这个三角形是什么样的，从而渗透等边三角形三边相等的特征。
对于③（3、3、6），要求学生判断时说出这三条边不能围成三角形的原因，紧接着提出“（3.1、3、6）可以围成三角形吗？”让学生抓住能围成三角形的边的规律，使学生在观察、操作、猜想中不断深化认知：只要任意两边之和大于第三边就能围成三角形，哪怕只大一点点。
对于④（2、3、8），在学生进行判断后，教师把2换成“x”，引导学生思考“当x等于多少时，这三条边可以围成三角形？”学生发现x可以等于6、7、8、9……只要比5大都可以，但当x=11时，不能围成三角形，因此x的取值范围是5
三角形三边关系范文
第一章整式的运算一、整式1、单项式：表示数与字母的积的代数式。另外规定单独的一个数或字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做单项式的系数。注意系数包括前面的符号，系数是1时通常省略，是系数，的系数是单项式的次数是指所有字母的指数的和。2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。(几次几项式)每一个单项式叫做多项式的项，注意项包括前面的符号。多项式的次数：多项式中次数的项的次数。项的次数是几就叫做几次项，其中不含字母的项叫做常数项。3、整式;单项式与多项式统称为整式。(最明显的特征：分母中不含字母)二、整式的加减：①先去括号;(注意括号前有数字因数)②再合并同类项。(系数相加，字母与字母指数不变)三、幂的运算性质1、同底数幂相乘：底数不变，指数相加。2、幂的乘方：底数不变，指数相乘。3、积的乘方：把积中的每一个因式各自乘方，再把所得的幂相乘。4、零指数幂：任何一个不等于0的数的0次幂等于1。()注意00没有意义。5、负整数指数幂：(正整数，)6、同底数幂相除：底数不变，指数相减。()注意：以上公式的正反两方面的应用。常见的错误：，，，，四、单项式乘以单项式：系数相乘，相同的字母相乘，只在一个因式中出现的字母则连同它的指数作为积的一个因式。五、单项式乘以多项式：运用乘法的分配率，把这个单项式乘以多项式的每一项。六、多项式乘以多项式：连同各项的符号把其中一个多项式的各项乘以另一个多项式的每一项。七、平方差公式两数的和乘以这两数的差，等于这两数的平方差。即：一项符号相同，另一项符号相反，等于符号相同的平方减去符号相反的平方。八、完全平方公式两数的和(或差)的平方，等于这两数的平方和再加上(或减去)两数积的2倍。常见错误：九、单项除以单项式：把单项式的系数相除，相同的字母相除，只在被除式中出现的字母则连同它的指数作为商的一个因式。十、多项式除以单项式：连同各项的符号，把多项式的各项都除以单项式。第二章平行线与相交线一、互余、互补、对顶角1、相加等于90°的两个角称这两个角互余。性质：同角(或等角)的余角相等。2、相加等于180°的两个角称这两个角互补。性质：同角(或等角)的补角相等。3、两条直线相交，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角;或者一个角的反相延长线与这个角是对顶角。对顶角的性质：对顶角相等。4、两条直线相交，有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。(相邻且互补)二、三线八角：两直线被第三条直线所截①在两直线的相同位置上，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同位角。②在两直线之间(内部)，在第三条直线的两侧(旁)的两个角叫做内错角。③在两直线之间(内部)，在第三条直线的同侧(旁)的两个角叫做同旁内角。三、平行线的判定①同位角相等②内错角相等两直线平行③同旁内角互补四、平行线的性质①两直线平行，同位角相等。②两直线平行，内错角相等。③两直线平行，同旁内角互补。五、尺规作图(用圆规和直尺作图)①作一条线段等于已知线段。②作一个角等于已知角。第三章三角形一、认识三角形1、三角形:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。2、三角形三边的关系：两边之和大于第三边;两边之差小于第三边。(已知三条线段确定能否组成三角形，已知两边求第三边的取值范围)3、三角形的内角和是180°;直角三角形的两锐角互余。锐角三角形(三个角都是锐角)4、三角形按角分类直角三角形(有一个角是直角)钝角三角形(有一个角是钝角)5、三角形的特殊线段：a)三角形的中线：连结顶点与对边中点的线段。(分成的两个三角形面积相等)b)三角形的角平分线：内角平分线与对边的交点到内角所在的顶点的线段。c)三角形的高：顶点到对边的垂线段。(每一种三角形的作图)二、全等三角形：1、全等三角形：能够重合的两个三角形。2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。3、全等三角形的判定：判定方法内容简称边边边三边对应相等的两个三角形全等SSS边角边两边与这两边的夹角对应相等的两个三角形全等SAS角边角两角与这两角的夹边对应相等的两个三角形全等ASA角角边两角与其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等AAS斜边直角边斜边与一条直角边对应相等的两个直角三角形全等HL注意：三个角对应相等的两个三角形不能判定两个三角形形全等;AAA两条边与其中一条边的对角对应相等的两个三角形不能判定两个三角三角形全等。SSA4、全等三角形的证明思路：条件下一步的思路运用的判定方法已经两边对应相等找它们的夹角SAS找第三边SSS已经两角对应相等找它们的夹边ASA找其中一个角的对边AAS已经一角一边找另一个角ASA或AAS找另一边SAS5、三角形具有稳定性，三、作三角形1、已经三边作三角形2、已经两边与它们的夹角作三角形3、已经两角与它们的夹边作三角形(已经两角与其中一角的对边转化成这种情况)4、已经斜边与一条直角边作直角三角形第四章生活中的变量一、变量、自变量与因变量①两个变量x与y，y随x的改变而改变，那么x是自变量(先变的量)，y是因变量(后变的量)。二、变量之间的表示方法：①列表法②关系式法：能精确地反映自变量与因变量之间数值的对应关系。③图象法：用水平方向的数轴(横轴)上的点表示自变量，用坚直方向的数轴(纵轴)表示因变量。第五章生活中的轴对称一、轴对称图形与轴对称①一个图形沿某一条直线对折，直线两旁的部分能完成重合的图形叫做轴对称图形。这条直线叫做对称轴。②两个图形沿某一条直线折叠，这两个图形能完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线叫做对称轴。③常见的轴对称图形：线段(两条对称轴)，角，长方形，正方形，等腰三角形，等边三角形，等腰梯形，圆，扇形二、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。∠1=∠2PBOBPAOAPB=PA三、线段垂直平分线：①概念：垂直且平分线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。OA=OBCDABPA=PB四、等腰三角形性质：(有两条边相等的三角形叫做等腰三角形)①等腰三角形是轴对称图形;(一条对称轴)②等腰三角形底边上中线，底边上的高，顶角的平分线重合;(三线合一)③等腰三角形的两个底角相等。(简称：等边对等角)五、在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它所对的两条边也相等。(简称：等角对等边)六、等边三角形的性质：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性质。①等边三角形的三条边相等，三个角都等于60;②等边三角形有三条对称轴。七、轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形;②对应线段、对应角相等;②对应点的连线被对称轴垂直且平分;④对应线段如果相交，那么交点在对称轴上。八、镜子改变了什么：1、物与像关于镜面成轴对称;(分清左右对称与上下对称)2、常见的问题：①物体成像问题;②数字与字母成像问题;③时钟成像问题第六章概率一、概率：反映事件发生可能性大小的数。事件P的概率=二、事件的分类三、游戏是否公平：双方事件发生的概率是否相等。