概率计算范例(3篇)

概率计算范文

1模型原型

【例1】（2012·江苏卷）人类遗传病调查中发现两个家系中都有甲遗传病（基因为H、h）和乙遗传病（基因为T、t）患者，系谱图如图1所示。以往研究表明在正常人群中Hh基因型频率为10-4。请回答下列问题（所有概率用分数表示）：

如果Ⅱ7与Ⅱ8再生育一个女儿，则女儿患甲病的概率为。

答案：1/60000。

解析：根据系谱图中正常的Ⅰ1和Ⅰ2的后代中有一个女患者Ⅱ2，说明甲病为常染色体隐性遗传。Ⅱ7的基因型为H，其中HH占1/3，Hh占2/3。根据题意，正常人群中Hh的基因型频率为10-4，也就是Ⅱ8基因型为H-的概率。故女儿患甲病的概率=2/3×10-4×1/4=1/60000。

点拨：基因频率与遗传系谱图结合的概率计算模型的原型是遗传系谱图中的个体与自然人群中的个体交配，且自然人群中的相关个体基因型频率已知。在遗传系谱图中根据亲子代关系计算相关个体基因型的概率后，直接结合自然人群中相关个体基因型频率运用乘法原理求解。

2模型拓展

【例2】（2013·安徽卷）图1是一个常染色体遗传病的家系系谱。致病基因（a）是由正常基因（A）序列中一个碱基对的替换而形成的。

一个处于平衡状态的群体中a基因的频率为q。如果Ⅱ2与一个正常男性随机婚配，他们第一个孩子患病的概率为。如果第一个孩子是患者，他们第二个孩子正常的概率为。

答案：q/3（1+q）3/4

解析：Ⅱ2的基因型是A_，其中Aa占2/3，AA占1/3。一个处于平衡状态的群体中a基因的频率为q，则AA的频率为（1-q）2，Aa的频率为2（1-q）q。正常男性中Aa的概率为Aa/（AA+Aa）=2（1-q）q/[（1-q）2+2（1-q）q]=2q/（1+q），则他们第一个孩子患病的概率为2/3×2q/（1+q）×1/4=q/[3（1+q）]。如果第一个孩子是患者，则Ⅱ2与正常男性的基因型均为Aa，他们第二个孩子正常的概率为3/4。

点拨：模型拓展较原型的区别在自然人群中的相关基因型个体的概率未知。先按照哈温平衡计算此概率，再按照亲子代关系计算遗传系谱图中相关基因型个体的概率，最后结合自然人群中相关个体基因型频率运用乘法原理求解。

3模型演练

图3为患甲病（显性基因A，隐性基因a）和乙病（显性基因B，隐性基因b）两种遗传病的系谱，Ⅱ3和Ⅱ8两者的家庭均无乙病史。

假设某地区人群中每10000人当中有1900个甲病患者，若Ⅲ12与该地一女子结婚，则他们生育一个患甲病男孩的概率为。

答案：1/60000

解析：某地区人群中每10000人当中有1900个甲病患者，不患甲病的是10000-1900=8100，所以aa的概率是8100/10000=0.81，由此算出a的基因频率是0.9，的基因频率是0.1。Ⅲ12的基因型是A_，其中Aa占2/3，AA占1/3。

方法一（配子法）：Ⅲ12产生配子的种类及比例是A占2/3，a占1/3;自然人群中A占0.1，a占0.9。所以若Ⅲ12与该地一女子结婚后代不患病的概率是aa=1/3×0.9=0.3，后代患病的概率是1-0.3=0.7，故后代患病男孩的概率是0.7×1/2=0.35。本文由wWW.dyLw.NeT提供，第一论文网专业教育教学论文和以及服务，欢迎光临dYLw.nET

概率计算范文

一、巧用棋盘格法

用棋盘格法求概率，是概率计算最基本的方法，用来求解子代出现的种类和概率极其方便，但大部分同学不善使用或使用不当。

例1：有一种病，在人群中发病概率为1/100，现有一对正常夫妇生有一个患病女儿和正常儿子。问该妇女离婚和另一正常男子结婚，所生子女中患该病的概率是？

解析：由题意看出，该病是常染色体隐性遗传病，该妇女的基因型为Aa，只要知道与她二次结婚的正常男子的基因型，就可求他们后代的患病概率。那么怎样求这一男子的基因型呢？用棋盘格法：

由题意知：aa=1/100，所以a=1/10，A=1-1/10=9/10。则AA=81/100，Aa=18/100。该男子正常要么是AA，要么是Aa，是Aa的概率为18/100÷（18/100+81/100）=18/99，是AA的概率为81/100÷（18/100+81/100）=81/99，所以：

该妇女×另一正常男子

Aa×AA（81/99）

Aa（18/99)

只有该男子为Aa时后代才可能患病，所生后代患病概率为1×18/99×1/4=1/22

总结：本题极易出现的错误解法：

错误一：由棋盘格推出A=9/10，a=1/10，Aa=9/100（因为Aa在棋盘格中出现了两次，正确答案应为：9/100×2=18/100）。

错误二：把另一正常男子的概率计算为：AA=81/100，Aa=18/100（应为AA=81/99，Aa=18/99）。

应用：在人群中的ABO血型系统中，A型血为32/100，O型血为4/100，求AB型血和B型血在人群中的概率。

解析：由题意知，ii=4/100，可推出i=0.2，A型血为：

IAIA+2IAi=（IA）2+2IAi=0.32，即：

（IA）2+2×0.2IA-0.32=0，也就是（IA-0.4）（IA+0.8）=0，求得IA=0.4，那么：IB=1-IA-i=0.4。AB型血概率为IAIB=2×0.4×0.4=32/100，B型血的概率为（IB）2+2IBi=0.16+2×0.4×0.2=32/100。

二、自交和自由，求后代概率

自交是指基因型相同的个体间的，而自由是指任何基因型个体之间自由，二者不可混淆。

例2:基因型为Aa的个体自交，所得F1代：(1)继续自交：（2）自由。两种情况下的所得F2中AA:Aa:aa为多少？

解析：（1）自交：

Aa

自交

F11/4AA1/2Aa1/4aa

自交自交自交

F21/4AA1/2(1/4AA+1/2Aa+1/4aa)1/4aa

AA:Aa:aa=(1/4+1/6):1/4:(1/8+1/4)=3:2:3

（2）自由

Aa

自交

F11/4AA1/2Aa1/4aa

自由

F2AA:Aa:aa=？

此问题用棋盘格最为简便。

F1产生的雌、雄两种配子均为：

A=1/4+1/2×1/2=1/2，a=1/4+1/2×1/2=1/2。根据棋盘格法：

所以：AA=1/4Aa=2×1/2×1/2=1/2aa=1/4

所以：AA:Aa:aa=1/4:1/2:1/4=1:2:1

三、亲代产生多个后代，有序和无序的比较

例3：一对夫妇基因型皆为Aa

（1）按顺序生下男—男—女的概率？

（2）生下两男一女的概率？

（3）生下两男一女且皆为显性性状的概率？

解析：问题（1）已经规定了顺序，即第一个为男孩，第二个为男孩，第三个为女孩，其概率为：1/2×1/2×1/2=1/8

问题（3）没有规定顺序，应有三种情况，即男—女—男，男—男—女，女—男—男，每种情况的概率都为1/2×1/2×1/2=1/8。那么生两男一女的概率就是1/8×3=3/8。

问题（3）两男一女的概率3/8，都为显性性状的概率为：3/4×3/4×3/4=27/64，那么生两男一女且都为显性性状的概率是：3/8×27/64=81/512。

四、逆向思维求概率

有些题型，如果按部就班的去求解，既繁琐又易犯错，变换一下思维方式就会变得既准确又快捷。

例4：基因型为AABbCc和aaBbcc的两个个体杂交，求后代中表现性不同于亲本的个体出现的概率。

解析：亲本杂交所生的后代中，用分支法不难看出后代的表现性为4种，不同于亲本的为3种，如果要求表现性不同于亲本个体的概率，需要用分枝法列出三种情况，求每种情况的概率然后相加，这种方法既繁琐又易犯错。反向考虑，从双亲基因型看，后代表现型如果和双亲一样，那么只能和AABbCc的表现性相同，只要求出后代中基因型ABC的个体出现的概率：1×3/4×1/2=3/8。用1减去与亲本表现型相同的个体的概率，就是表现性不同于亲本的后代出现的概率，答案为：1-3/8=5/8。

还有一类题目，根本无法正常求解，如：基因型为AaBbCcDd……（n对等位基因）的个体自交，求后代不同于亲本的概率。

概率计算范文篇3

概率在社会生活和科学实验中运用广泛.体会概率的意义，理解现实世界中不确定现象的特点，树立正确的随机观念，是初中学段学习概率知识的重要目标.但由于概率问题的不确定性，较易受错误直觉的误导，因此，教材通过大量重复的实验，先获得频率稳定值，再概括概率定义，让学生经历实验、观察、猜想、验证活动，获得古典概率的计算方法：“树状图”和“列表法”.但是学生在处理概率问题的计算时还是容易出错，而且就连一些研究文章，也犯类似错误,不能不引起我们的重视了.

例1在一个黑色不透明的口袋中放了一个红球，一个黑球，八个黄球，如果一次从口袋中拿出三个球，①请写出拿球过程中的必然事件、可能事件、不可能事件各一件；②如果一次取出三个球，有一个红球的机会有多大(不能只写出结果,要说明理由)

这曾是一道期末全县统考试题，参考答案②是因从口袋中一次取出三个球，有以下几种情况：1、一个黄球，一个红球，一个黑球.2、两个黄球，一个红球.3、两个黄球，一个黑球.4、三个黄球.所以从口袋中一次取出三个球，有一个红球的机会是0.5.阅卷中发现有许多学生认为“10个球中有一个红球，所以从口袋中一次取出三个球，有一个红球的机会是0.1，少数人同参考答案0.5.”

由此引起阅卷组老师很大争议.经过讨论认为参考答案②是不对的，学生答案0.1是正确的.

果真如此吗？实际上参考答案②的分析存在误导，答案0.5是错误的，答案0.1也是不正确的.为什么呢？根据方法论大师笛卡尔教导“从最简单的情形开始”探索如下：如果一次取1个，则取到红球的机会应该是0.1；一次取10，则有一个红球的机会应该是1.可以猜想：随着取球的个数增加，有一个红球的机会增大.根据高中组合知识，得C19C210

在10个球中任取3个的事件有C310个，取一个红球，再从剩下的9个球中任取2个的事件有C29个，所以P(有一个红球)=C29C310=36120=0.3.

一次取3个球与一次取1个球，不放回，取3次的本质相同，给黄球编号，利用画树状图分析如下：

共有等可能事件数:72+72+72×8=720.有一个红球的事件:8+8+72+8(1+8+7)=216.所以P(有一个红球)=216720=0.3.

探讨1两种解法都得出0.3才正确.不过，因黄球个数较多，所用画树状图方法并不轻松.

探讨2教材方法是通过大量重复的实验，用频率稳定值去估计机会大小，但考场内做不到.

例2规格相同的4双黑袜子，1双白袜子，在黑夜中，任意摸出2只，能组成一双袜子的机会.

教辅资料上的解答：共10只袜子，任意摸出2只，有45种可能，能组成一双袜子的情形有5种.P(一双袜子)=545=19.

答案是错误的.先看一个类似问题的分析，华师大初三《数学》上第118页问题1中的问题(3)：抽屉里有尺码相同的3双黑袜子，1双白袜子，混合放在一起，在夜晚不开灯的情况下，你随意拿出2只，怎样用实验估计它们恰好是一双的概率.

教材分析：模拟实验过程“用6个黑球代替3双黑袜子”.可见，这里袜子不分左右脚.再用画树状图法解得答案47，与实验结果相符合.

正确解答是，不考虑顺序，4双黑袜子共8只可得28种可能，再加1双白袜子，共29种情形，并非只有5种.10只袜子，任意摸出2只，共45种可能，所以正确答案是P(一双袜子)=2945.

例3袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是().

A.110B.15C.310D.25

这是2007年全国初中数学联赛第一试第6题，几乎所有教辅资料给出的解答都是：设摸出的15个球中有x个红球，y个红球，z个红球，则x、y、z都是正整数，且x≤5、y≤6、z≤7，x+y+z=15.

因y+z≤13，所以x只能取2，3，4，5.

当x=2时，只有一种可能，y=6，z=7.当x=3时，y+z=12，有2种可能，y=5，z=7；y=6，z=6.当x=4时，y+z=11，有3种可能，y=4，z=7；y=5，z=6；y=6，z=5.当x=5时，y+z=10，有4种可能，y=3，z=7；y=4，z=6；y=5，z=5；y=6，z=4.

因此，共有1+2+3+4=10种可能的摸球结果，其中摸出的球中恰有3个红球的结果有2种.故所求概率为210=15.选B.

这个答案是错误的，运用高中概率求法，所得概率应为P=C35•C1213C1518=65408.这种解法对初中学生勉为其难.如果转化为一次摸1个，不放回，摸15次，用15步树状图求解也相当困难，作为初中赛题并不合适.一般分支不宜过多，分步不超过3时，对初中学生才比较适宜.

前述错误并非偶然现象，在教学中、教辅资料上时常遇到.事实上，在各色球的个数不相等时，不同实验结果个数和不定方程整数解数与所有机会均等的结果个数并不一定相等；一次摸N个球是不放回的情形，与一次摸一个不放回，摸N次的数学本质相同；与一次摸一个放回，摸N次是两种不同的情形.两者都可以用画树状图解答，可见，忽视概率数学本质，不仅会导致形式计算的错误，而且也会造成概率命题的混乱.

在课堂教学中强调的“数学本质”，张奠宙教授指出其内涵一般包括以下几个方面:(1)数学知识的内在联系；(2)数学规律的形成过程；(3)数学思想方法的提炼；(4)数学理性精神（依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理，这种认识为理性认识.重视理性认识活动，以寻找事物的本质、规律及内部联系，这种精神称为理性精神）的体验等方面.高境界的数学课堂教学必须呈现“数学本质”，促进学生和谐发展.不妨从以下几个方面取得突破：

1重视结论，也重视对内容本质的理解

了解概率的古典定义：一般地，如果在一次实验中，共有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)=mn.

理解古典概型的特征：基本事件的有限性和每一个基本事件出现的等可能性.

运用古典概率的计算方法：1.分析基本事件是否为等可能事件；2.计算所有基本事件的总结果数n；3.事件A所包含的结果数m；4.P(A)=mn.

图1

例4一只蚂蚁在如图1所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，它获得事物的概率是多少？

这是人教课标版9(上)155页第4题，由于从第二次爬行的枝数分别是3，2，2，所以到每支的机会不是等可能性的，非古典概型，如何正确求解，是一道克服思维定势的好题，但学生往往仍机械套用画树状图方法，出现错误解答如下：

所以蚂蚁共有7种不同的走法，其中有c4、c6两种走法能获得食物，故P(蚂蚁获得食物)=27.

正确解答：转化为等可能性情形，3，2，2的最小公倍数是6，将b1、b2、b3向下的各只枝数分别2倍、3倍、3倍，转化都是6的等可能性问题了.如下图：

共有18个等可能结果，可获得食物的结果为3+3=6个，P(蚂蚁获得食物)=618=13.

给同色球编号就是将非等可能性问题化归为等可能性问题解决，但例1、例3却忽视了等可能性数学本质导致错误.

2重视知识，也重视对解决问题的模式建构

解决问题的模式是数学本质意义的抽象、概括，是对这类数学问题的规律性认识，实现更广泛的应用价值.排列数模型，特点是有顺序性，等可能性事件数初中代之以画树状图和表格法统计，不重不漏，在学生尚未掌握概率乘法的情况下，为学生搭建一个可以操作的平台，用途广泛.组合数模型，特点是无顺序性，对于两步完成的事件，初中代之以线段计数的方法统计简便易行.

例5一个黑色口袋中装有3个黑球，2个红球，1个白球，它们除颜色外，它们没有任何区别.任意摸出2个，摸到一个黑球，一个红球的机会是多少？

教辅资料考虑顺序的解答：共6个球，任意摸出2个，有30种情形，其中有红球的情形12种.P(一个红球，一个黑球)=1230=0.4.

若不考虑顺序，则6个球，任意摸出2个，有15种情形，其中有红球的情形6种.P(一个红球，一个黑球)=615=0.4.

3重视应用，也重视发展学生拓展、创新能力

教材上树状图解法中，从每个结点出发的几条“树枝”所对应的事件都是等可能的，“粗细”一致.华师大版初三《数学教师用书》上p.131页，介绍了另外一种树状图：从每个结点出发的“树枝”粗细不一致，即表示每枝并非是等可能的.这种方法只考虑每次摸一个球的概率，最后需用概率乘法.这种树状图可以解答等可能性、非等可能性概率分析问题.如案例2.

P(一双袜子)=810×79+210×19=2945.

以阅读材料的形式告诉学生，开拓学生视野.总之，通过多维度设计、进行有过程的教学，是实现数学本质教学的根本保证

参考文献

［1］林立军.人教版九年级《数学》上第二十章“概率初步”简介［J］.中学数学教育,2006.(11).

［2］高定照.例谈中学概率统计教学中数学史的运用［J］.数学教学通讯(教师版),2008.(3).

［3］张顺和.“概率”一章的教学分析与建议［J］.中学数学教学参考(初中版),2006.(5).