三角函数变换规律范例(3篇)
三角函数变换规律范文
关键词重复出现；周期函数；定义；周期求解
一、周期函数的引入
众所周知，世界上的万事万物都在不停地运动、变化，其中又有很多事物都按照一定规律运动、变化。“离离原上草，一岁一枯荣”，即描写了因地球的自转、公转而引起的寒暑易节重复出现的规律。与此类似，有些函数也有这种现象，起函数值按照一定规律不断重复出现，如函数y=sinx、y=cosx等。周期函数就是研究这种函数按照一定规律不断重复出现的。
二、周期函数定义剖析
人教版高中教材对周期函数的定义是：一般地，对于函数y=f（x），如果存在一个不为0的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把这个函数y=f（x）叫做周期函数，不为0的常数T叫做这个函数的周期。
（1）定义中的“每一个x”即函数定义域内的所有x都有f（x+T）=f（x）成立才行。这里只要有一个x不能使该关系成立，则T就不是f（x）的周期。如函数y=sinx（x≠0），由于f（2π）=0，f（0）没有意义，f（2π+0）≠f（0），T=2π就不是函数y=sinx（x≠0）的周期。事实上，由于f（0）没有意义，所以就不存在这样的常数T≠0，使得f（0+T）=f（0）成立，所以函数y=sinx（x≠0）就不是周期函数。
（2）关系式f（x+T）=f（x）隐含这样一个事实：若x是f（x）定义域内的任一个值，则x+T一定是该定义域中的一个值，同时（x+T）+T还是该定义域中的一个值。以次类推，x+nT是定义域中的一个值……，所以周期函数的定义域一定是“无限的”，象函数y=sinx，x∈（-4π，4π）就不是周期函数。
（3）周期函数的定义域是“无限的”，不是说其定义域一定是一切实数，只是说其定义域不能受某一数“限制”。有些周期函数的定义域就是无数个区间的并，如y=tgx的定义域就不是一切实数；又有些周期函数的定义域为无数个零点，如y=的定义域为x=kπ（k∈Z）。
（4）若有f（x+T）=f（x），用x-T代换x得f（x）=f（x-T），用用x-T代换x得f[（x+T）+T]=f（x）f（x+T）=f（x）成立，即f（x+2T）=f（x）；同理还可得f（x+3T）=f（x），以次类推，并依定义可知：若f（x）的周期为T，则-2T，-T，T，2T，3T，…，nT，…全部是f（x）的周期，即周期函数的周期应为无数多个，如y=sinx的周期有：…，-4π，-2π，2π，4π，6π，…
（5）在周期函数f（x）的无数个周期中，若有最小的正数，则称该周期为最小正周期。我们通常所指的周期为最小正周期。但有些周期函数就没有最小正周期，如f（x）=sin2x+cos2x，因为对于任意不为0的常数T，都有f（x+T）=f（x）=1，所以该函数没有最小正周期。
三角函数变换规律范文
关键词：几何画板三角函数动态演示
在新课程改革的大背景下，如何充分应用信息技术服务教学成为了我们每个教育工作者必须关心的话题。在传统的三角函数教学中，基本上都是使用常规工具（如粉笔，圆规或直尺等）画图，所作的图形是静态的，具有一定的局限性；而在数学中很多关系和规律是在变化中被发现和掌握的，传统的教学没有变化过程，无法展现图形变化的任意性，从而不利于规律的发现。本文将通过三角函数教学中的两个案例，展示几何画板辅助三角函数教学所具有的独特优势，让三角函数教学"动"起来。
案例1：借助几何画板形象说明y=sinx是以2π为周期的周期函数
在人教版数学必修4《第一章三角函数》这一章中，如何理解"三角函数的周期性"是教学的重点，也是教学的难点，正确理解三角函数的周期性对于学生在三角函数的学习中有着举足轻重的地位。数学概念都是死的，是不能再创造的。传统的教学对三角函数的周期性这一概念往往是让学生死记，再机械应用，但随着时间的推移，学生的记忆就会很快的被遗忘。而事实上，对三角函数的周期性这一概念的教学应该关注学生的学习过程，提供足够的材料、时间和空间，让学生通过观察、比较、交流、讨论等活动来完成。几何画板对于达到上述目标具有先天的优势，借助几何画板的"平移图像"功能，通过数形结合很好的向学生展示了三角函数在每个周期上的函数图像是一样的。
下面以y=sinx为例，向学生展示y=sinx是以2π为周期的周期函数，绘图步骤如下：
①建立直角坐标系xOy，执行"图表-定义坐标系"。在直角坐标系xOy中作出函数y=sinx的图像：执行"图表-定义坐标系"，"图表-绘制新函数-函数-sin-x"。
②在画板中任取点P，以点P为
坐标原点建立新的直角坐标系，如
应用1，作出y=sinx在区间[0，2π]
上的函数图像。选中该图像，执行
"编辑-操作类按钮-隐藏/显示"，
生成按钮显示轨迹。图一
③在x轴上绘制点A(-2π，0)、A（2π，0）。依次选中点P、点O，执行"编辑-操作类按钮-移动"，生成按钮还原；依次选中点P、点A，执行"编辑-操作类按钮-移动"，生成按钮周期1；依次选中点P、点B，执行"编辑-操作类按钮-移动"，生成按钮周期2；
④隐藏所有没必要的对象,如图一。
教学时，点击按钮显示轨迹，函数在区间[-2π，2π]上的图像便以粗体的形式出现在学生面前。拉动点P，再次让学生体会y=sinx在区间[-2π，2π]上的图像。点击按钮还原，则该图像会回到原来的位置。点击按钮周期1和周期2，y=sinx在区间[-2π，2π]上的图像就会分别移动到区间[-2π，0]和[2π，4π]上，此时，学生很容易看出在这三个周期上的函数图像是一样的，依此类推，通过图像的移动等动态演示，从而使学生深刻理解三角函数的周期性这一概念。
案例2：借助几何画板探究函数y=Asin(ωx+φ)的图像
人教版数学必修4《1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图像》这一章节的教学中，重点是如何让学生认清楚参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)图像的影响。为此，我们借助几何画板分别作出y=sinx与y=sin(x+φ)、y=sinx与y=sinωx、y=sinx与y=Asinx三组图像，通过改变参数φ、ω、A的值，引导学生观察参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)图像的影响。
下面，我以φ对y=sin(x+φ)的图像的影响为例，谈谈如何借助几何画板动态演示y=sinx的图像转换成y=sin(x+φ)（φ∈(-π，π)）的图像，作图步骤如下：
①作y=sinx的图像:建立直角坐标系xOy，执行"图表-定义坐标系"。作函数y=sinx的图像，执行"图表-定义坐标系"，"图表-绘制新函数-函数-sin-x"。
②作y=sin(x+φ)的图像:在x轴上绘制点M(-π，0)、N(π，0)，作线段MN。选中线段MN，执行"作图-线段上的点"，得到点P。依次选中点P与原点O，执行"变换-标记向量"。选中y=sinx的图像，执行"作图-函数图像上的点"，得到点A。选中点
A，执行"变换-平移-标记"，得到点B。
依次选中点A和点B，执行"作图-轨迹"，
得到y=sin(x+φ)的图像。
③依次选中点P、点A和点B，执行
"度量-横坐标"，得到点P、点A和点B
的横坐标xP、xA、xB，则φ=xP。
④隐藏所有没必要的对象,如图二。图二
在教学中，先将点P移至原点。演示的时候，提醒学生观察参数xP、xA、xB的变化，其中φ=xP。若将点P向x轴的负半轴移动时，函数y=sin(x+φ)的图像向右移动，此时φ=xP0。通过以上动态演示，学生不难得出以下结论:当φ0时，y=sin(x+φ)的图像可由y=sinx的图像向左平移|φ|个单位。
运用几何画板辅助三角函数的教学，不仅让三角函数教学"动"起来，而且还增大课堂容量、优化教学结构，增强学生的学习兴趣，激发学生的探究精神。同时，充分体现了"以人为本"的新课程理念，并且拓宽了数学课堂的教学形式，改变以往单一的教学手段，使数学问题更形象化，更贴近生活，为数学教育开辟了更为广阔的天地。
参考文献
三角函数变换规律范文篇3
关键词：高中数学；三角函数；实例分析
一、学生在学习三角函数时遇到的问题
1.概念理解不透彻
数学概念理论是学生解决三角函数问题的理论依据，蕴含着丰富的数学思想。由于三角函数的数学概念较为抽象，学生对其理解不透彻。比如在sin（2x+10π），我们可以用诱导公式得出原式等于sin2x，这是直接运用了诱导公式计算出来的：sin2（x+π）=sin（2x+2π）=sin（2x+360?）=sin2x。学生如果对诱导公式理解不到位，这道题就很有可能答不出来。还有很多学生对函数图像不熟悉，造成sinx和cosx图像混淆，周期不熟悉，在对后期图形变化时观察不足，分析不准确，这些都会造成学生在数学考试中一些简单的选择填空得不到分。长此以往，学生对学习三角函数会产生厌倦感，失去学习兴趣。
2.学生综合型学习知识较差
三角函数是高中数学中应用范围最广的知识点，它和其他知识点应用在一起的可能性极大，一般考试中主要还是与其他知识点综合起来考查学生。例如，某兴趣小组想测量一座楼CD的高度，先在A点测得楼顶C的仰角为30度，然后沿AD前行10米，到达B点，在B点测得楼顶C的仰角为60度，请根据测量的数据计算楼高CD。
以上问题是将实际问题与函数知识相结合，一些学生往往想不到要用三角函数来解决，知识迁移能力不足，综合学习知识能力较差。
3.三角函数公式变形记忆较差
由于三角函数公式较多，学生在记忆过程中容易记混或记不牢固，在后期做题过程中有些复杂的公式经过变形可以简单化，一些学生记不住公式导致做题步骤繁多，并且还容易出现计算错误。例如，在求函数y=sin2x+√3cos2x的最大值、最小值及周期时，可以进行相应的化简y=sin2x+√3cos2x=2（1/2sin2x+√3/2cos2x）=2（cosπ/3sin2x+sinπ/3cos2x）=2sin（2x+π/3）函数的周期T=2π/2=π，公式经过合理化简后解题更加简便。
二、提高三角函数教学质量的措施
1.丰富学生的解题技巧
在学习三角函数的过程中，由于三角函数自身存在灵活性，学生在解答问题时需要进行相关的简便解答。其实，三角函数的固定题型分为几种，教师可以对每类数学题进行相关的经验总结和指导，使学生在解答过程中把握解题规律，熟悉解题技巧，从而在后期的学习中更加快速学习。
例如，在学习角转换过程中sin20?cos70?+sin10?sin50?，计算这个式子的值，可以转换成角来计算，具体步骤如下：
sin20?cos70?+sin10?sin50?=（1/2）[sin90?+sin（-50）?]+（1/2）（cos40?-cos60?）=（1/2）（1-sin50?+sin50?-1/2）=（1/2）（1/2）=1/4
通过数字和角之间的相互转换，学生在做这类题型的时候就有了解题思路，丰富了学生的解题技巧，激发了学生学习数学的积极性，促进教师教学目标的完成。
2.强化学生的画图意识
三角函数一般是高中一年级的知识点，低年级学生虽然有一定的知识储备，但是对抽象化的数学概念理解依旧不足，因此，教师可以采用图像法加强学生对知识点的记忆。三角函数涉及的知识较多，如性质、对称性等，单纯靠记忆很难记忆准确。教师可以将抽象的三角函数概念具体化，帮助学生进行理解，提高学生的学习效率。
例如，在求三角函数y=sin（π/3-2x）的单调递增区间时，除了运用传统的公式法y=sin（π/3-2x）=-sin（2x-π/3），令2kπ+π/2≤2x-π/3≤2kπ+3π/2，求得kπ+5π/12≤x≤kπ+11π/12。
故该题的增区间是[kπ+5π/12，kπ+11π/12]，学生还可以利用图像的平移变换来计算。通过增强学生的画图意识，拓宽学生的做题思路，让学生将知识点与图像结合起来，更有利于解答问题。
3.将三角函数知识融入教学过程
三角函数的知识点贯穿于整个高中数学学习过程中，所以教师应该将该知识点放到整体教学过程中，学生在学习其他知识的同时也能够对三角函数知识点进行复习与巩固。教师要创新教学方式，根据学生的学习规律来制订教学计划。
三、结束语
高中数学学习中应用到三角函数知识点的地方众多，学好该知识点对学生学习高中数学具有重要作用。因此，教师一定要在抓住教学要点进行教学方式的创新，采用学生能够理解的学习方法，有针对性地教学，激发学生学习三角函档男巳ぁQ生在巩固基础知识的基础上进行知识扩展，提高学生学习三角函数的能力，达到预期的教学效果。
参考文献：